【概率论与数理统计】第三章 多维随机变量及其分布(3)

2 随机变量的独立性

2.1 两个随机变量的独立性

在多维随机变量中各分量的取值有时会互相影响，但有时也会毫无影响。

例如，一个人的身高$X$和体重$Y$之间就会互相影响，但与收入$Z$一般就没什么影响。

这里，我们根据两个事件的独立性引出两个随机变量的独立性：

之前我们这样描述：事件 { X ≤ x } \{X \le x\} {X≤x}与事件 { Y ≤ y } \{Y \le y\} {Y≤y}的积事件 { X ≤ x ,   Y ≤ y } \{X \le x,\ Y \le y\} {X≤x, Y≤y}，若： P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } P\{X \le x, Y \le y\} = P\{X \le x\} \cdot P\{Y \le y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y}，则事件 { X ≤ x } \{X \le x\} {X≤x}与事件 { Y ≤ y } \{Y \le y\} {Y≤y}相互独立。

**定义9：**设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，边缘分布函数为$F_X(x),F_Y(y)$，若对任意$x,y$，有：

P { X ≤ x , Y ≤ y } = P { X ≤ x } ⋅ P { Y ≤ y } P\{X \le x, Y \le y\} = P\{X \le x\} \cdot P\{Y \le y\} P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}⋅P{Y≤y} 即：

$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$

则称： 二维随机变量$(X,Y)$的分量$X$与$Y$相互独立。

例1：设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$为：
$$F(x,y)=\{\begin{array}{ll}(1-e^{-3x})(1-e^{-4y}),& x>0,y>0\\ 0,& 其他\end{array}$$
证明：$X$与$Y$相互独立。

证明：关于$X$的边缘分布函数为： # 分布函数的含义，本章定义2
$$F_X(x)=F(x,+\infty )=\{\begin{array}{ll}1-e^{-3x},& x>0\\ 0,& 其他\end{array}$$
同理，关于$Y$的边缘分布函数为：
$$F_Y(y)=F(+\infty ,y)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-4y},& y>0\\ 0,& 其他\end{array}$$
因此，对任意$x,y$，都有$F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$成立，故$X,Y$相互独立。

2.2 二维离散型随机变量的独立性

设$(X,Y)$为二维离散型随机变量，其分布律为： p i j = P { X = x i , Y = y j } ,    i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij} = P\{X=x_i, Y = y_j\},\ \ i,j = 1,2,... pij​=P{X=xi​,Y=yj​},  i,j=1,2,...；边缘分布律为：

p i ⋅ = P { X = x i } = ∑ j = 1 ∞ p i j ,    j = 1 , 2 , . . . p_{i\cdot} = P\{X = x_i\} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij},\ \ j = 1,2,... pi⋅​=P{X=xi​}=∑j=1∞​pij​,  j=1,2,...；

p ⋅ j = P { Y = y j } = ∑ i = 1 ∞ p i j ,    i = 1 , 2 , . . . p_{\cdot j} = P\{Y = y_j\} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij},\ \ i = 1,2,... p⋅j​=P{Y=yj​}=∑i=1∞​pij​,  i=1,2,...；

若对于$(X,Y)$的所有取值$x_i,y_j$，都有：

p i j = P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } ,    i , j = 1 , 2 , . . . p_{ij} = P\{X=x_i, Y = y_j\} = P\{X = x_i\} \cdot P\{Y = y_j\},\ \ i,j = 1,2,... pij​=P{X=xi​,Y=yj​}=P{X=xi​}⋅P{Y=yj​},  i,j=1,2,...

则称$(X,Y)$为二维离散型随机变量的分量$X$与$Y$相互独立。

例2：盒中有2个红球和3个白球，从中每次任取一个球；连续取两次，记事件$X、Y$分别表示第一、二次是否取到红球，"1"表示取到红球，"0"表示取到白球；分别进行有放回取球和无放回取球，分别求出两种情形下$(X,Y)$的$X$与$Y$是否相互独立。

解：该题的题干是本章3.1中例6的内容；要求二维随机变量$(X,Y)$各分量是否相互独立，需要先获取$(X,Y)$的分布律；前面的例6中已经求得，我们直接拿来用：

（1）有放回地取球情形：

$(X,Y)$的分布律与边缘分布律为：

X	Y	Y	$p_{i\cdot }$
X	0	1	$p_{i\cdot }$
0	$\frac{9}{25}$	$\frac{6}{25}$	$\frac{3}{5}$
1	$\frac{6}{25}$	$\frac{4}{25}$	$\frac{2}{5}$
$p_{\cdot j}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$	1

因为：KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cp at position 100: … = \frac{3}{5} \̲c̲p̲ ̲\frac{3}{5}

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cp at position 100: … = \frac{3}{5} \̲c̲p̲ ̲\frac{2}{5}

KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cp at position 100: … = \frac{2}{5} \̲c̲p̲ ̲\frac{3}{5}

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可见，对于任意的$x,y$都有 P { X = x i , Y = y j } = P { X = x i } ⋅ P { Y = y j } P\{X=x_i, Y = y_j\} = P\{X = x_i\} \cdot P\{Y = y_j\} P{X=xi​,Y=yj​}=P{X=xi​}⋅P{Y=yj​}；因此，$X$与$Y$相互独立。

（2）无放回地取球情形：

$(X,Y)$的分布律与边缘分布律为：

X	Y	Y	$p_{i\cdot }$
X	0	1	$p_{i\cdot }$
0	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{3}{5}$
1	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{2}{5}$
$p_{\cdot j}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$	1

由于 P { X = 0 , Y = 0 } = 3 10 P\{X=0,Y=0\} = \frac{3}{10} P{X=0,Y=0}=103​；而KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cp at position 70: … = \frac{3}{5} \̲c̲p̲ ̲\frac{3}{5} = \…；可见两者并不相等，因此$X$与$Y$不是相互独立的。

例3：设二维随机变量$(X,Y)$的分布律为：

X	Y	Y
X	1	2
1	$\frac{1}{9}$	a
2	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$
3	$\frac{1}{18}$	b

且$X$与$Y$相互独立，其常数$a,b$。

解：由于$X$与$Y$相互独立，所以：

P { X = 1 , Y = 1 } = 1 9 = P { X = 1 } ⋅ P { Y = 1 } = ( 1 9 + a ) ( 1 9 + 1 6 ) P\{X=1,Y=1\} =\frac{1}{9} = P\{X=1\} \cdot P\{Y=1\} = (\frac{1}{9} + a)(\frac{1}{9} + \frac{1}{6}) P{X=1,Y=1}=91​=P{X=1}⋅P{Y=1}=(91​+a)(91​+61​) 得：$a=\frac{2}{9}$

$b$的解法有两种：

①利用全分布律之和等于1：${\sum }_{i=1}^{\infty }{\sum }_{j=1}^{\infty }{p}_{ij}=1$ 解得$b=\frac{1}{9}$

②利用与解a方法类似的办法：例如： P { X = 3 , Y = 1 } = 1 18 = P { X = 3 } ⋅ P { Y = 1 } = ( 1 18 + b ) ( 1 9 + 1 6 + 1 18 ) P\{X=3,Y=1\} = \frac{1}{18} = P\{X=3\} \cdot P\{Y=1\} = (\frac{1}{18} + b)(\frac{1}{9} + \frac{1}{6} + \frac{1}{18}) P{X=3,Y=1}=181​=P{X=3}⋅P{Y=1}=(181​+b)(91​+61​+181​) 解得$b=\frac{1}{9}$

2.3 二维连续型随机变量的独立性

二维连续型随机变量$(X,Y)$的概率密度为$f(x,y)$，关于$X$与关于$Y$的边缘概率密度为$f_X(x)$和$f_Y(y)$，若对于$(X,Y)$所有取值$(x,y)$都有：$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$成立，则称随机变量$X$与$Y$是相互独立的。

例4：二维随机变量$(X,Y)$的分布函数为：$F(x,y)=a(b+\arctan x)(c+\arctan y),-\infty <x,y<+\infty$ ；证明随机变量$X$与$Y$相互独立。

证明：本例的题干部分是本章节3.1中例8的题干，因此利用在例8中解得的：

$a=\frac{1}{{\pi }^2},b=\frac{\pi }{2},c=\frac{\pi }{2}$

概率密度为：$f(x,y)=\frac{1}{{\pi }^2}\cdot \frac{1}{1+x^2}\cdot \frac{1}{1+y^2}=\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)},-\infty <x,y<+\infty$

继续解得关于$X$的边缘密度为：
$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}dy\\ & =\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)}\arctan y{|}_{-\infty }^{+\infty }\\ & =\frac{1}{\pi (1+x^2)},-\infty <x<+\infty \end{array}$$
同理关于$Y$的边缘密度为：
$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{{\pi }^2(1+x^2)(1+y^2)}dx\\ & =\frac{1}{{\pi }^2(1+y^2)}\arctan x{|}_{-\infty }^{+\infty }\\ & =\frac{1}{\pi (1+y^2)},-\infty <y<+\infty \end{array}$$
可见对于任意的$(x,y)$都有：$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$；因此，随机变量$X$与$Y$相互独立。

例5：设随机变量$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1,{\sigma }_2,\rho )$，试求$X$与$Y$相互独立的充分必要条件。

解：已知$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}$

我们指代服从正态分布的二维随机变量$(X,Y)$，其分量也各自服从正态分布，即：

$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2)$

也就是：

$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^{-\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{2{\sigma }_1^2}},-\infty <x<+\infty$

$f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^{-\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{2{\sigma }_2^2}},-\infty <y<+\infty$

从而：

（1）若$\rho =0$，则：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}{e}^{-\frac{1}{2}[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}]}=f_X(x)\cdot f_Y(y)$

表明$X$与$Y$相互独立。

（2）若$X$与$Y$相互独立，则对于所有的$(x,y)$都有：

$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)$ ；特别地，令$x={\mu }_1,y={\mu }_2$，有：

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}{e}^0=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}$

$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}{e}^0\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}{e}^0=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2}$

因此，$\sqrt{1-{\rho }^2}=1$，即$\rho =0$。

综上所述：$X$与$Y$相互独立的充要条件是$\rho =0$。

例6：设二维随机变量$(X,Y)$在一原点为圆心，半径为1的圆形区域上服从均匀分布，问$X$与$Y$是否相互独立？

解：由题知$(X,Y)$的概率密度为：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\pi },& x^2+y^2\le 1\\ 0,& 其他\end{array}$$
$(X,Y)$关于$X$的边缘密度为：
$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& =\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy,& -1\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & \\ & =\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\frac{1}{\pi }dy,& -1\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & \\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-x^2},& -1\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\end{array}$$
同理，$(X,Y)$关于$Y$的边缘密度为：
$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)& =\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx,& -1\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & \\ & =\{\begin{array}{ll}{\int }_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}}\frac{1}{\pi }dx,& -1\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & \\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi }\sqrt{1-y^2},& -1\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\end{array}$$
因此：
$$f_X(x)\cdot f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{4}{\pi }\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-y^2},& |x|\le 1,|y|\le 1\\ 0,& 其他\end{array}$$
易见当$|x|\le 1,|y|\le 1$时，$f(x,y)\ne f_X(x)\cdot f_Y(y)$；所以，$X$与$Y$不是相互独立的。

经过以上的讨论，我们可以发现，联合分布可以i确定边缘分布，但一般来说，边缘分布不能确定联合分布。但是当$X$与$Y$相互独立的情况下$(X,Y)$的分布可以由它的两个边缘分布确定。

例7：设$X$与$Y$是相互独立的随机变量，$X$在$[-1,1]$上服从均匀分布，$Y$服从指数分布，其概率密度为：
$$f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-2y},& y>0\\ 0,& 其他\end{array}$$
求$(X,Y)$的概率密度。

解：由已知得$X$的概率密度为：
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1\le x\le 1\\ 0，其他& \end{array}$$
因为$X$与$Y$hi相互独立的，所以$(X,Y)$的概率密度为：
$$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-2y},& -1lex\le 1,y>0\\ 0,& 其他\end{array}$$

例8：设二维随机变量$(X,Y)$的概率密度为：
$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}8xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le x\\ 0,& 其他\end{array}$$
求关于$X$与$Y$的边缘概率密度，并判断$X$与$Y$是否相互独立。

解：首先画图：

然后由$(X,Y)$的密度函数的其关于$X$的边缘密度为：(y的取值是从0到x的)
$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy& =\{\begin{array}{ll}{\int }_0^{x}8xydy,& 0\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}4x{y}^2{|}_0^x,& 0\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}4x^3,& 0\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\end{array}$$
同理得$(X,Y)$关于X的边缘密度为：
$$\begin{array}{rl}{f}_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx& =\{\begin{array}{ll}{\int }_y^{1}8xydx,& 0\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\\ & =\{\begin{array}{ll}4y(1-y^2),& 0\le y\le 1\\ 0,& 其他\end{array}\end{array}$$
当$0\le x\le 1,0\le y\le x$时$f(x,y)\ne f_X(x)\cdot f_Y(y)$，所以，$X$与$Y$不是相互独立的。

在实际应用中，往往不采用数学定义来判定事件是否独立，而是直接按照实际意义来考证。

2.4 $n$个随机变量的相互独立

将前文中两个随机变量相互独立的概念推广到$n$个。

**定义10：**设$n$维连续型随机变量$(X_1,X_2,...,X_n)$的分布函数为 F ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = P { X 1 ≤ x 1 ,   X 2 ≤ x 2 , . . . ,   X n ≤ x n } F(x_1,x_2,...,x_n) = P\{X1\le x_1,\ X_2 \le x_2, ...,\ X_n \le x_n\} F(x1​,x2​,...,xn​)=P{X1≤x1​, X2​≤x2​,..., Xn​≤xn​}，该列车密度为$f(x_1,x_2,...,x_n)$，则$(X_1,X_2,...,X_n)$关于$X_k,k=1,2,...,n$的边缘分布函数和边缘概率密度分别为：

F X k ( x k ) = P { X 1 < + ∞ ,   X 2 < + ∞ ,   . . . ,   X k ≤ x k ,   . . . ,   X n < + ∞ , } F_{X_k}(x_k) = P\{X_1 \lt +\infty,\ X_2 \lt +\infty,\ ...,\ X_k \le x_k,\ ...,\ X_n \lt +\infty,\} FXk​​(xk​)=P{X1​<+∞, X2​<+∞, ..., Xk​≤xk​, ..., Xn​<+∞,}

$f_X(x_k)=\underset{n-1个}{\underbrace{{\int }_{-\infty }^{+\infty }...{\int }_{-\infty }^{+\infty }}}f(x_1,...,x_{k-1},x_k,x_{k+1},...,x_n)d{x}_1...d{x}_{k-1}d{x}_{k}d{x}_{k+1}...d{x}_n$

**定义11：**若对一切的$x_1,x_2,...,x_n$有：

P { X 1 ≤ x 1 , X 2 ≤ x 2 , . . . , X n ≤ x n } = Π k = 1 n P { X k ≤ x k } P\{X_1\le x_1,X_2 \le x_2,...,X_n \le x_n\} = \Pi_{k=1}^{n} P\{X_k \le x_k\} P{X1​≤x1​,X2​≤x2​,...,Xn​≤xn​}=Πk=1n​P{Xk​≤xk​}，即：

$F(x_1,x_2,...,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdot F_{X_2}(x_2)\cdot ...\cdot F_{X_n}(x_n)$则称：这$n$个随机变量间时相互独立的。

例9：设$X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，且$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,...,n$；求$(X_1,X_2,...,X_n)$的概率密度。

解：由于$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,...,n$，故：

$f_{X_k}(x_k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x_k-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}},-\infty <x_k<+\infty$ ；又因为$X_1,X_2,...,X_n$ 相互独立，所以：

$f(x_1,x_2,...,x_n)=f_{X_1}(x_1)\cdot f_{X_2}(x_2)\cdot ...\cdot f_{X_n}(x_n)=\frac{1}{(2\pi {)}^{\frac{n}{2}}{\sigma }_1{\sigma }_2...{\sigma }_n}{e}^{-\frac{1}{2}[\frac{(x_1-\mu {)}^2}{{\sigma }_1^2}+\frac{(x_2-\mu {)}^2}{{\sigma }_2^2}+...+\frac{(x_n-\mu {)}^2}{{\sigma }_n^2}]}$

还可以证明：

(1) 其中任意$k$个$(2\le k\le n)$随机变量也相互独立

(2) 他们各自的函数$g_1(X_1),g_2(X_2),...,g_n(X_n)$也相互独立，比如：$X_1^2,x_2^2,...,X_n^2$相互独立。

例10：设随机变量$X$与$Y$相互独立，都服从区间$[1,3]$上的均匀分布，设$1<a<3$，若事件 A = { X ≤ a } ,   B = { Y > a } A = \{X \le a\},\ B= \{Y \gt a\} A={X≤a}, B={Y>a}，且$P(A\cup B)=\frac{7}{9}$，求常数$a$的值。

解：由已知得$X、Y$的概率密分别为：
$$
f_X(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2},\ \ \ \ &1 \le x \le 3 \
0,\ &其他
\end{cases}
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

f_Y(y) =
\begin{cases}
\frac{1}{2},\ \ \ \ &1 \le y \le 3 \
0,\ &其他
\end{cases}
$$
因此，当$1<a<3$时，事件$A、B$的概率分别为：

P ( A ) = P { X ≤ a } = F X ( a ) = ∫ − ∞ a f X ( x ) d x = ∫ 1 a f X ( x ) d x = 1 2 x ∣ 1 a = a − 1 2 P(A) = P\{X \le a\} = F_X(a) = \int_{-\infty}^{a} f_X(x) dx =\int_{1}^{a} f_X(x) dx = \frac{1}{2}x |_1^a = \frac{a-1}{2} P(A)=P{X≤a}=FX​(a)=∫−∞a​fX​(x)dx=∫1a​fX​(x)dx=21​x∣1a​=2a−1​

P ( B ) = P { Y > a } = ∫ a + ∞ f Y ( y ) d y = ∫ a 3 f Y ( y ) d y = 1 2 y ∣ a 3 = 3 − a 2 P(B) = P\{Y \gt a\} = \int_{a}^{+\infty} f_Y(y) dy = \int_{a}^{3} f_Y(y)dy = \frac{1}{2}y | _{a}^{3} = \frac{3-a}{2} P(B)=P{Y>a}=∫a+∞​fY​(y)dy=∫a3​fY​(y)dy=21​y∣a3​=23−a​

由$X$与$Y$相互独立可知：

$P(AB)=P(A)P(B)=\frac{(a-1)(3-a)}{4}$

而$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=\frac{7}{9}$得：

$\frac{a-1}{2}+\frac{3-a}{2}-\frac{(a-1)(3-a)}{4}=\frac{7}{9}$ 得：$a=\frac{5}{3}或\frac{7}{3}$