【Algorithm&DataStructure】二叉查找树(BST)的遍历

本文深入探讨了二叉树的四种主要遍历方法:先序遍历、中序遍历、后序遍历和层次遍历。通过递归和非递归方式详细解释了每种遍历的实现原理,并提供了具体的代码示例。

先序遍历


    /**
	 * 先序遍历:递归实现
	 * @param root
	 */
	public void preOrderRe(TreeNode root){
		System.out.print(root.val);
		if(root.left != null) {
			preOrderRe(root.left);
		}
		if(root.right != null) {
			preOrderRe(root.right);
		}
	}
	
	/**
	 * 先序遍历非递归实现:堆栈
	 * @param root
	 * @return
	 */
	public void preOrder(TreeNode root) {
		Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
		while(root != null || !stack.isEmpty()) {
			
			while(root != null) {
				System.out.print(root.val);
				stack.push(root);
				root = root.left;
			}
			if(!stack.isEmpty()) {
				root = stack.pop();
				root = root.right;
			}
		}
	}

 

 

中序遍历


    /**
	 * 中序遍历递归实现
	 * @param root
	 */
	public void midOrderRe(TreeNode root){
		
			if(root.left != null)midOrderRe(root.left);
			System.out.print(root.val);
			if(root.right != null)midOrderRe(root.right);
	}
	
	/**
	 * 中序遍历非递归实现
	 * @param root
	 */
	public void midOrder(TreeNode root){
		Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
		while(root != null || !stack.isEmpty()) {
			while(root != null) {
				stack.push(root);
				root = root.left;
			}
			if(!stack.isEmpty()) {
				root = stack.pop();
				System.out.print(root.val);
				root = root.right;
			}
		}
		
	}

 

 

后序遍历


    /**
	 * 后序遍历递归实现
	 * @param root
	 */
	public void postOrderRe(TreeNode root){
		
			if(root.left != null)postOrderRe(root.left);
			if(root.right != null)postOrderRe(root.right);
			System.out.print(root.val);
	}

	/**
	 * 后序遍历非递归实现
	 * @param root
	 */
	public void postOrder1(TreeNode root) {
		Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
		Stack<Integer> output = new Stack<Integer>();	//倒着存排序结果
	
		while(root != null || !stack.isEmpty()) {
			while(root != null) {
				output.push(root.val);
				stack.push(root);
				root = root.right;
			}
			if(!stack.isEmpty()) {
				root = stack.pop();
				root = root.left;
			}
		}
		while(!output.isEmpty()) {
			
			System.out.print(output.pop());
		}
		
	}

 

层次遍历


    //使用数组下标表示深度(深度遍历+层次输出) 
    ArrayList<ArrayList<Integer>> result = new ArrayList<ArrayList<Integer>>();
    
    ArrayList<ArrayList<Integer> > Print(TreeNode pRoot) {
        support(pRoot,0);
        return result;
    }
    
    public void support(TreeNode pRoot, int depth){
        if(pRoot == null)return ;
        if(depth >= result.size()){
             result.add(new ArrayList<Integer>());
        }
        result.get(depth).add(pRoot.val);
        support(pRoot.left,depth+1);
        support(pRoot.right,depth+1);
    }
	/**
	 * 层次遍历使用队列
	 * @param root
	 */
	public void levelOrder(TreeNode root) {
		if(root == null)return;
		Queue<TreeNode> q = new LinkedList<TreeNode>();
		q.add(root);
		while(!q.isEmpty()) {
			int count = q.size();
			while(count > 0) {
				TreeNode temp = q.poll();
				System.out.print(temp.val);
				if(temp.left != null)q.add(temp.left);
				if(temp.right != null)q.add(temp.right);
				count--;
			}
		}
	}

 

<think>我们判断的陈述是:二叉排序树的中序遍历的序列一定是有效的。首先,我们需要明确二叉排序树(Binary SearchTree,BST)的定义:二叉排序树是一棵空树,或者是具有以下性质的二叉树:-若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;-若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;-它的左、右子树也分别为二叉排序树。二叉排序树的中序遍历(左子树->根节点->右子树)会得到一个序列。根据二叉排序树的性质,这个序列应该是递增有序的(严格递增,或者非严格递增,这取决于树是否允许重复值以及如何定义重复值的存放位置。但通常,我们讨论的是严格递增的,或者允许重复值的情况下,可以定义为非递减序列)。因此,中序遍历二叉排序树得到的序列应该是有序的(非降序)。所以,这个序列是有效的,即满足二叉排序树的性质。结论:该判断是正确的。但是,我们还需要考虑一些特殊情况:1.空树:中序遍历得到空序列,也可以认为是有效的(有序)。2.只有一个节点的树:中序遍历得到单元素序列,也是有序的。3.允许重复值的情况:如果二叉排序树允许重复值,通常定义是左子树小于等于根节点,或者右子树大于等于根节点。但这样定义可能会导致不严格递增。不过,按照经典定义,二叉排序树一般不允许重复值,或者重复值放在右子树(或左子树)则会导致中序遍历为非递减序列(即允许相等)。所以,序列仍然是有效的(非降序)。因此,无论如何,二叉排序树的中序遍历序列都是有序的(非降序),所以是有效的。我们可以通过代码来验证:以下是一个二叉排序树的中序遍历示例,并验证序列是否有序(非降序):</think>### 二叉排序树中序遍历序列有效性判断 #### 结论:**该判断完全正确** 在二叉排序树(Binary Search Tree,BST)中,**中序遍历得到的序列一定是升序有序的**,因此一定是有效的。以下是详细解释和验证: #### 二叉排序树定义 二叉排序树是具有以下性质的二叉树: 1. 左子树所有节点的值 < 根节点的值 2. 右子树所有节点的值 > 根节点的值 3. 左右子树也都是二叉排序树 #### 验证代码(C++实现) ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; // 二叉树节点定义 struct TreeNode { int val; TreeNode* left; TreeNode* right; TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {} }; // 中序遍历二叉排序树 void inorderTraversal(TreeNode* root, vector<int>& result) { if (!root) return; inorderTraversal(root->left, result); result.push_back(root->val); inorderTraversal(root->right, result); } // 验证序列是否升序有序 bool isSorted(const vector<int>& vec) { for (int i = 1; i < vec.size(); i++) { if (vec[i] <= vec[i-1]) return false; } return true; } int main() { // 构建二叉排序树 TreeNode* root = new TreeNode(5); root->left = new TreeNode(3); root->right = new TreeNode(8); root->left->left = new TreeNode(1); root->left->right = new TreeNode(4); root->right->left = new TreeNode(6); root->right->right = new TreeNode(9); // 中序遍历 vector<int> traversal; inorderTraversal(root, traversal); // 输出遍历结果 cout << "中序遍历序列: "; for (int num : traversal) cout << num << " "; cout << endl; // 验证序列有效性 if (isSorted(traversal)) { cout << "√ 序列是升序有序的(有效)" << endl; } else { cout << "× 序列不是升序有序的" << endl; } return 0; } ``` #### 代码输出示例 ``` 中序遍历序列: 1 3 4 5 6 8 9 √ 序列是升序有序的(有效) ``` #### 数学证明 设二叉排序树的中序遍历序列为 $S = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$,根据BST性质: 1. 对于任意节点 $a_i$: - 左子树所有节点 $a_j$ 满足 $j < i$ 且 $a_j < a_i$ - 右子树所有节点 $a_k$ 满足 $k > i$ 且 $a_k > a_i$ 2. 递归应用此性质可得: $a_1 < a_2 < ... < a_n$ 因此序列 S 必然是严格升序有序的。 #### 特殊情况验证 | 树结构 | 中序遍历序列 | 是否有效 | |--------|--------------|----------| | 空树 | [] | 有效(空序列有序) | | 单节点 | [5] | 有效(单元素有序) | | 退化链表(左斜) | [1,2,3,4,5] | 有效(升序) | | 退化链表(右斜) | [5,6,7,8,9] | 有效(升序) | | 平衡树 | [1,3,4,5,6,8,9] | 有效(升序) | #### 应用场景 1. **BST验证**:利用中序序列是否有序来验证二叉树是否为BST 2. **有序数据获取**:高效获取有序数据(时间复杂度 O(n)) 3. **范围查询**:结合二叉搜索树特性实现高效范围查询
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