位运算的妙用_判断2的乘方和二进制1的个数

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原创最新推荐文章于 2026-03-31 09:24:29 发布 3k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

二进制乘法运算目录1.定点数一位乘法1.1定点原码一位乘法1.2定点补码一位乘法1.3定点原码二位乘法1.4定点补码二位乘法2.浮点数加减法运算 1.定点数一位乘法 1.1定点原码一位乘法原码相乘，积符号同号得正、异号得负，数值为两数绝对值之积。例：X=0.1101，Y=0.1011，求两数之积解：取双符号位部分积右移时，乘数寄存器同时右移一位。计算用两位符号，结果保留一位符号。 X*Y=0.10001111 Cd是乘数位数的补码值，每计算一次减一次。 Cn是C寄存器中Y的最低位，为1则部分积加X，阅读详情

本来定好每个星期写一遍算法的博客的，可是因为最近赶项目，博客停止更新一段时间了，现在抽空继续更新。本来心情挺好的，一看手机，欠费两百多，真是日了狗了，百度云没有设置只能 wifi 下下载和上传，用了我的流量来下载，我的内心是崩溃的。
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一、判断一个整数是否是2的乘方

1.题目：实现一个方法，判断一个正整数是否是2的乘方（比如 16 是 2 的 4 次方，返回 True；18 不是 2 的乘方，返回 False ）。要求性能尽可能高。

解法一：
创建一个变量 Temp ，初始值是 1 。然后进入一个循环，循环中每次让Temp和目标整数比较，如果相等，则说明目标整数是 2 的乘方；如果不相等，则让 Temp 增大乘 2 ，继续循环比较。当 Temp 大于目标整数时（所以循环的判断条件是小于等于），说明目标整数不是 2 的乘方。

    /**
     * 判断整数（number）是否是2的乘方
     * 
     * @param number
     * @return
     */
    public static boolean isPower2_ONE(int number) {
        int temp = 1;
        while (temp <= number) {
            if (temp == number) {
                return true;
            }
            temp = temp * 2;
        }
        return false;
    }

优化：
先了解一个知识点：<<(左移)乘二,>>(右移)除二

具体的介绍：

java的左移和右移不是循环移动，遵循下面的规则：

1.右移
右移运算用来将一个数的二进制位序列右移若干位。例如 x>>=2 ,使 x 的各二进制位右移两位，移到右端的低位被舍弃，最高位则移入原来高位的值。例如：x=00110111,则 x>>2 为 00001101 ; y=11010011 ,则 y>>2 为11110100

2.左移
左移运算用来将一个数的二进制位序列左移若干位。例如 x<<=2 ,使 x 的各二进制位左移两位，右边补 0 ，若x=00001111，则x<<2为00111100.最高位左移后溢出，舍弃不起作用。

右移运算相当于对这个数字除2取商，左移运算相当于对这个数字乘2，而且使用左移右移实现乘法除法比使用乘法除法运算速度要快。

注意：以上等效是在不溢出的情况下进行。对于负数运算的左移是必然会溢出的

当然，如果要实现对负数的操作，由于计算机在处理负数的时候是对补码进行操作，所以除2其实是对补码的操作，因此对负数的操作需要对补码进行处理。

注意：补码运算的时候，最与最高位符号位是要保持不变的。另外，如果左移右移大于数据类型长度时候，会先取模。比如 int i ,左移 33 ,会变为左移 1 ,也就是 33%32

因此我们可以把上面循环中的乘 2 ，换成左移一位，因为左移运算符会比乘法的效率快很多。

    /**
     * 判断整数（number）是否是2的乘方（把乘2换成左移一位）
     * 
     * @param number
     * @return
     */
    public static boolean isPower2_TWO(int number) {
        int temp = 1;
        while (temp <= number) {
            if (temp == number) {
                return true;
            }
            temp = temp << 1;
        }
        return false;
    }

虽然换成左移运算法效率会变快，可是时间复杂度还是没有变化的，也就是说本质还是没有改变。

解法二：
观察下面的图，我们可以发现什么规律呢？

十进制转二进制

通过观察我们可以发现：
(1) 凡是2的乘方的正整数，其二进制数必然是以 1 为首位，其它位都是 0
(2) 如果给它减 1 ，（在位数相同的情况下）就会变成首位是 0 ，其它位全部是 1 的结果
(3) 0 和 1 的按位与运算结果是 0 ，因此 2 的乘方和他本身减1相与，即 N & N-1，结果必然是 0；也就是说用“位与”运算，得到的结果是0,就说明这个正整数是2的乘方

所以，2 的乘方都符合一个规律，即 N&N-1 等于 0，所以直接用这个规律判断即可，但是，这个结论就一定正确吗？这只是我们通过观察部分数据得出的结果，况且我们的数据量非常的少，怎样才能保证这个结论是正确的呢？我们可以通过反证法来证明：

假设真的存在一个正整数 N，N 不是 2 的幂，但是 N 符合 N&N-1 =0。

由 N 不是 2 的幂可以推断出，N 的二进制形式并不是除了最高位是1以外，其余为全是 0 。

既然其余位不全是 0 ，那么 N-1 的结果的最高位一定不会改变，仍然是1。

既然 N-1 的最高位是 1 ，N的最高位也是 1 ，那么 N&N-1！=0，和假设矛盾。

由此证明，符合 N&N-1 =0 的正整数必然是 2 的幂。

最后我们用代码来实现：

    /**
     * 判断整数（number）是否是2的乘方（位与运算）
     * 
     * @param number
     * @return
     */
    public static boolean isPower2_THREE(int number) {
        return (number & number - 1) == 0;
    }

二、求出一个正整数转换成二进制后的数字“1”的个数

题目：求出一个正整数转换成二进制后的数字“1”的个数
如：
int 型数值为 80
转化成二进制形式：80 = 00000000 00000000 00000000 01010000
因此 1 的个数为 2

解法一：
由上面的位运算判断 2 的乘方可以知道，n&(n-1) 可以把整数二进制的最右边的数由 1 变为 0 ，利用这个我们就可以解决这个问题了。

具体实现的代码如下：

    /**
     * 计算一个int型数值中bit-1的个数
     * 
     * @param n
     * @return
     */
    public static int bitCount1(int n) {
        int count = 0;
        while (n != 0) {
            n = n & (n - 1);
            count++;
        }
        return count;
    }

解法二：

我们也可以通过移位来解决这题,因为整数的二进制与 1 进行 & 运算的时候，当最末位也就是最右边的一位为 1 的时候，结果就是 1 ，判断完最后一位，然后把整数的二进制右移一位，再判断，直到整数等于 0 结束循环


    /**
     * 计算一个int型数值中bit-1的个数
     * 
     * @param n
     * @return
     */
    public static int bitCount2(int n) {
        int count = 0;
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {// 如果最右边的值是1
                count++;
            }
            n >>= 1; // 向右一位
        }
        return count;
    }