算法之位运算求解二进制中1的个数

对于二进制，是当时大数学家莱布尼兹研究中国的周易后，他发表了“二进制算术的阐述”，副标题为 ”关于只用0与1，兼论其用处及伏羲所用数字的意义“，该文章对200年后计算机的存储产生了重要影响。

本文主要介绍利用位运算来计算二进制中1的个数。题目如下：

二进制中1的个数

输入一个 32 位整数，输出该数二进制表示中 1 的个数。

注意：
负数在计算机中用其绝对值的补码来表示。

样例1
输入：9
输出：2
解释：9的二进制表示是1001，一共有2个1。

样例2
输入：-2
输出：31
解释：-2在计算机里会被表示成11111111111111111111111111111110， 一共有31个1。

解题思路

思路1

二进制中数出1的个数，判断最低位是1则计数+1，然后采用右移的方式将最低位去除掉，依次循环判断，直到数值变为0.
这里有个坑，大家要注意：
负数在二进制中，最高位符号位是1，因此每次右移操作时，最高位会默认补1，因此，需要将有符号负整型转换成无符号。

时间复杂度 O(log(n))

实现代码

int NumberOf1(int n){
    int count = 0;
    unsigned int num = n;
    while(num) {
        if (num & 1) {
            count++;
        }
        num >>= 1;
    }
    return count;
}

思路2

构造一个计算，使得每次操作完成后该数值少了1个1. 大家想一想，有没有这种计算呢？1分钟的动脑时刻！

肯定是有的，估计你应该想到了，那就是 n&n-1. 只有两种情况，最低位是1和最低位是0两种。

情况1: 如果最低位如果是1，n-1的最低位则变为0，与原数值与的时候，只有最低位变成0，因此少了一个1.

举个栗子：
计算5中1的个数，首先5的二进制为： 00000101
n & n-1 : 5 & 4 对应二进制为： 00000101 & 00000100 = 00000100

情况2： 如果最低位是0，n-1 需要向前借位，最后一个1变成0，后面的0变成1，则n & n-1则将借位的1消除掉。

举个栗子：
计算4中1的个数，首先4的二进制为： 00000100
n & n-1 : 5 & 4 对应二进制为： 00000100 & 00000011 = 00000000

巧用这种计算关系，来降低计算次数。

时间复杂度 O(1) ~ O(log(n))

代码实现

int NumberOf1(int n){
    int count = 0;
    while(n) {
        count++;
        n &= n-1;
    }
    return count;
}