快速幂 (递归/迭代)

最新推荐文章于 2024-10-24 08:00:00 发布

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本文介绍了快速幂算法的两种实现方式：递归和迭代。递归方法通过将指数n分为偶数和奇数情况来减少运算次数，而迭代方法利用二进制拆分指数，仅对二进制位为1的位置进行乘法操作。两种方法的时间复杂度均为O(log n)，但迭代方法具有更低的空间复杂度O(1)。文章通过示例展示了算法的具体过程，并分析了它们的时间和空间复杂度。

快速幂+递归

求 $x^{64}$ : x→ $x^{2}$ → $x^{4}$ → $x^{8}$ → $x^{16}$ → $x^{32}$ → $x^{64}$ , 只需要把前一个的 $x^k$ 自乘一次
求 $x^{65}$ : x→ $x^{2}$ → $x^{4}$ → $x^{8}$ → $x^{16}$ → $x^{32}$ → $x^{65}$ , 在 $x^{32}$ 自乘一次后还要再乘一个x
求 $x^{n}$ : ①若n为偶数， $x^{n}$ = $x^{n/2}$ * $x^{n/2}$ = $x^{(n/2)*2}$ ; ②若n为奇数， $x^{n}$ = $x^{n/2}$ * $x^{n/2}$ * x，（其中 $x^{n/2}$ 中n/2 为n/2向下取整后的数，如65/2=32.5，向下取整为32）

double myPow(double x, long long int n)
{
    if(n == 0) return 1.0;
    double y = myPow(x, n/2);
    return n%2==1 ? y*y*x : y*y;
}
int main()
{
    double x; int n;
    cin >> x >> n;
    long long int N = n;

    double ans = N >= 0 ? myPow(x, N) : 1.0/myPow(x, -N);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

输入：2.00000 10
输出：1024.00000

输入：2.10000 3
输出：9.26100

输入：2.00000 -2
输出：0.25000

复杂度分析

时间复杂度：O( $nlog\ n$ )，即为递归的层数
空间复杂度：O( $nlog\ n$ )，即为递归的层数。这是因为递归的函数调用会使用栈空间

快速幂+迭代

求 $x^{11}$ : 11的二进制：1011，于是 $x^{11}$ = $x^{(2^0 + 2^1 + 2^3)}$ = $x^{(2^0)}$ * $x^{(2^1)}$ * $x^{(2^3)}$ = x * $x^{2}$ * $x^{8}$ , 只要分别求 $x^i$ 再相乘，不用将x连乘11次

double myPow(double x, long long int n)
{
    double ans = 1.0, tmp = x;
    while(n)
    {
        if(n%2 == 1)  // 指数二进制末尾为1
            ans *= tmp;
            
        tmp *= tmp;  
        n/=2;  // 舍去二进制最低位
    }
    return ans;
}
int main()
{
    double x; int n;
    cin >> x >> n;
    long long int N = n;

    double ans = N >= 0 ? myPow(x, N) : 1.0/myPow(x, -N);
    printf("%.5f\n", ans);
    return 0;
}

关于tmp*=tmp
tmp最初等于x，
随着n右移舍去最低位，tmp也发生变化： $t m p$ → $tmp^2$ → $tmp^4$ → $tmp^8$ →……
当n的二进制最低位是1的时候，即if(n%2 == 1) 成立时，tmp就可为ans做出贡献。

求 $x^{11}$ 时，tmp： $x$ → $x^2$ → $x^4$ → $x^8$ , 在这个过程中并不是每一个tmp值都会被乘入ans，我们只需要 $x$ ， $x^2$ 和 $x^8$ ，即11的二进制为1的位置时的数。