算法——动态规划之资源分配问题及其优化

上一篇文章写了动态规划求解0-1背包问题，这里做一道资源分配问题强化理解，顺便分析一下动态规划算法的优化问题。

问题描述：某厂根据计划安排，拟将n台相同的设备分配给m个车间，各车间获得这种设备后，可以为国家提供盈利Ci j(i台设备提供给j号车间将得到的利润，1≤i≤n，1≤j≤m) 。问如何分配，才使国家得到最大的盈利？

分析递推公式：
前 i 台设备分配给前 j 个车间，考虑当前第 j 个车间的情况，假设第 j 个车间分配了 k(0 <= k <= i) 个设备，剩下的 i - k 台设备要分给前 j - 1 个车间，此时前 j 个车间利润为p[i][j] = p[i - k][j - 1] + c[k][j]，遍历k的情况可取到最大利润，故有下面公式
其中0<=k<=i，1<=i<=n,1<=j<=m

代码如下：

int i, j, k;
	for (i = 1; i <= n; i++)
		for (j = 1; j <= m; j++)
			for (k = 0; k <= i; k++)//i代表了设备数目
				if ((p[k][j - 1] + c[i - k][j]) > p[i][j])
				{
					p[i][j] = p[k][j - 1] + c[i - k][j];
					f[i][j] = i - k;//用于当前计算的车间的设备数
				}

JS代码

const c = [[0,0,0],[0,189, 152],[0,200, 333]]
function dynamic (c) {
  let n = c.length - 1
  let m = c[0].length - 1
  let p = (new Array(n + 1).fill(null)).map(() => new Array(m + 1).fill(0))
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    for (let j = 1; j <= m; j++) {
      for (let k = 1; k <= i; k++) { // i代表了设备数目
        // 给j号车间提供多少个设备可以使得利润最大化
        if (p[i - k][j - 1] + c[k][j] > p[i][j]) {
          p[i][j] = p[i - k][j - 1] + c[k][j]
        }
      }
    }
  }
  return p[n][m]
}
console.log(dynamic(c))

优化一：
如果你在一个实例中尝试一下自己画表，你会发现，这道公式是按列计算数值的。
举个例子，2台设备分配给2个车间的盈利表（c[i][j]）如图所示

初始化最大盈利表

根据公式填表(p[i][j]=max{p[i][j],p[k][j-1]+c[i-k][j]} )
p[1][1]=max{p[1][1],p[k][0]+c[1-k][1]},0<=k<=1
p[1][1]=max{p[1][1],p[0][0]+c[1][1],p[1][0]+c[0][1]}=max{0,189,0}=189
用于计算的有下面4个数字

这样看或许还不够明确，我们来算一下p[2][2]
p[2][2]=max{p[2][2],p[k][1]+c[2-k][2]},0<=k<=2
p[2][2]=max{p[2][2],p[0][1]+c[2][2],p[1][1]+c[1][2],p[2][1]+c[0][2]}
用于计算的有下面几个数字

问题浮出水面==>这条递推公式是按照列遍历的！！学过计算机组成原理的朋友可能已经知道了，没错，就是cache的问题。
改变一下存储方式即可让遍历按照行进行！

• p[i][j]=max{p[i][j],p[i-1][k]+c[i][j-k]} 其中0<=k<=j，1<=i<=m,1<=j<=n
  解释一下这条新公式：其实思想没改变，就是将i、j互换，这里i代表车间数，j代表设备数，公式表示前i个车间瓜分j台设备，考虑当前第i个车间的情况，当前车间可能分配0个设备、1个设备、2个设备、…、n个设备，这其中得到最大利润的方案即为最优方案。
  注意c[i][j]表示与题干不同：它表示j台设备提供给i号车间将得到的利润，1≤i≤m，1≤j≤n

function reverse (arr) { // 数组行列互换
	return arr[0].map((col, i) =>  arr.map(row => row[i]))
}
// 优化：按行读取数组
function dynamic (c) {
  let n = c.length - 1 // 设备总数
  let m = c[0].length - 1 // 车间总数
  let p = (new Array(m + 1).fill(null)).map(() => new Array(n + 1).fill(0))
  for (let i = 1; i <= m; i++) {
    for (let j = 1; j <= n; j++) {
      for (let k = 1; k <= j; k++) { // 设备数量
        if (p[i - 1][j - k] + c[i][k] > p[i][j]) {
          p[i][j] = p[i - 1][j - k] + c[i][k]
        }
      }
    }
  }
  return p[m][n]
}
console.log(dynamic(reverse(c)))

优化二：
上面优化后的公式是按照行遍历的，如果你尝试自己手动画图，会发现每次求解只需要用到两行
p[2][2]=max{p[2][2],p[1][k]+c[2][2-k]},0<=k<=2
p[2][2]=max{p[2][2],p[1][0]+c[2][2],p[1][1]+c[2][1],p[1][2]+c[2][0]}

c表只用于生成p表，用完就没有作用了，如果我们在生成c表一行的同时生成p表，便只需要一个一维数组c[n+1]存储c表和一个c[2*(n+1)]的二维数组存储p表，空间复杂度下降。
p表能否优化成一维数组呢？
答案是可以的，因为求p表第i行j列数据时只需要用到c表i行和p表i-1行的前j个数据，我们只需要从后往前遍历，便不会影响到其它数据的计算

优化后代码如下：

void Dynamic_Optimization(int *cc, int *pp)
{
	int i, j, k, u;
	//最开始最大利润表是0
	for(i=0;i<=m;i++)
	{
		pp[i]=0;
	}
	cc[0]=0;
	for (i = 1; i <= m; i++)//m车间数
	{
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			//初始化一列利润表cc
			cc[j] = cc[j - 1] + rand() % 1000 + 1;
		}
		for (u = n; u >= 1; u--)//从后往前遍历
		{
			int max = 0;
			for (k = u; k >= 0; k--)
			{
				if (pp[k] + cc[u - k] > max)
				{
					max = pp[k] + cc[u - k];
					pp[u] = max;
				}
			}
		}
	}
}

思考：p只是一个一维数组，我们只能通过它得知最大利润，如何得知分配的方案呢？
如果c和p还是二维数组的时候，其实可以不用分配表application，直接算出分配方案，但现在c和p已经优化为一维数组了，没有application我们无法得知分配方案。
那么application表只能是一个二维数组吗？
有的博主是这样做的：通过结构体存储，将application表中数值为0的部分省去。结构体内定义了3个int型数据，这种方法比较适合在0较多的application表中用，否则反而可能增加空间负担，得不偿失！请慎用！

结构体定义如下：

Struct path{

 Int shebei;

 Int chejian;

Int num;

}P[10000];

想到结构体就想到了链表啦，如果像下图这样把每个地方的0压缩，或许可以减少一点空间负担，而且，链表不要求连续的空间

如图，把一行变成4个链表块，0的个数保存在链表块里。