埃氏筛和线性筛的比较

最新推荐文章于 2025-06-11 17:58:56 发布

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最新推荐文章于 2025-06-11 17:58:56 发布 · 804 阅读

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#算法

在解决涉及素数筛选的问题时，埃氏筛在处理大数据时容易超时。线性筛通过优化避免了多余计算，其时间复杂度为O(N)，相比埃氏筛的O(NloglogN)在大数据量下优势明显。对于1e7的数据，线性筛计算次数仅为埃氏筛的约1/2.7，更适合处理大规模问题。建议在算法学习中优先考虑使用线性筛。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这段时间在洛谷上面写题目的时候，发现对于莫比乌斯反演这种题目，以及一些其他的求素数的题目，假如要进行筛素数的时候，用埃氏筛一般都会被T，所以我想对这两种算法进行一个性能的对比。

首先，我们来看到埃氏筛，先给出代码：

//筛出1-n之间的素数
bool vis[1e7]={
   
   false};  //初始化全为false
void Eratosthenes(int n){
   
   
    for(int i=2;i<=n;i++){
   
   
        if(vis[i]==false){
   
     //发现这个是素数

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Peterliang233

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数论入门笔记

weixin_46524509的博客

09-23

952

数论入门目录数论入门一、数论是什么二、二、使用步骤1.引入库2.读入数据总结一、数论是什么数论主要研究整数的性质。例如一些特殊的数，如质数，素数，公因数，公倍数。二、示例：pandas 是基于NumPy 的一种工具，该工具是为了解决数据分析任务而创建的。二、使用步骤 1.引入库代码如下（示例）： import numpy as np import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns im

蓝桥杯数论通关系列(三)埃氏筛和线性筛

2301_81317457的博客

10-12

594

埃氏筛和线性筛都是可以快速筛取素数的算法，可以极大提高判断素数的效率。

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埃氏筛法，线性筛

heipao17的博客

12-14

2104

线性筛的思路：从1开始到n,从头依次找素数，用已经找到的素数去标记后面的合数(素数乘以素数等于合数)，记录已经找到的素数，排除后面的合数。这句话埃氏筛法也可以这么说。 线性筛和埃氏筛的区别就是：每个数只会被标记一次。首先来看下埃氏筛法吧：埃氏算法的思路：找到一个素数，就把这个素数的所有倍数都标记（素数的倍数自然是合数）。比如找到素数2，那就把后面的4，6，8，10，12…都标记上。 #include<stdio.h> int check[100000]={0}; void f(int

【质数】埃氏筛法、线性筛法（欧拉筛法）

最新发布

2301_80361697的博客

06-11

308

核心思想：对于任意一个大于1的整数，它的 k (k > 1) 倍是一个合数。根据这个思想，我们可以从2开始遍历到n，遍历到每一个数字 i 时，都枚举它的 k 倍的数字，打上合数的标记。这里可以做一个小优化，就是在枚举数字 i 的 k 倍数字时，可以从 i * i 开始枚举，因为小于 i * i 的数字都已经被枚举过了。举个例子🌰：当 i 从 2 枚举到 8 的时候，现在我们要开始筛掉所有 2~n 范围内 8 的倍数，将它们标记为合数。

埃氏筛法和线性筛

cook_for_you的博客

03-23

572

埃氏筛法和线性筛 埃氏筛法 如果一个数是合数，那么它一定有素数因子；证明：反证法，如果一个数是合数，且其所有因子都是合数。 ----------------------（1）如果（1）式正确，那么 4 为合数，其因子应为合数，但是 2 显然为素数，所有（1）式不成立； 埃氏筛法就是将素数的倍数全部筛掉代码如下 const int N = 1e6 + 10; int primes[N], ans; //全局变量自动赋值为 0 bool st[N];

【狂热算法篇】解锁筛法密码：埃氏筛与线性筛（欧拉筛）的深度剖析

羑悻的博客.

12-20

6585

此篇文章带你了解埃氏筛和线性筛是什么，如何设计等一些细节问题的解释等

素数筛法（线性筛/埃氏筛）

Czerny的博客

07-28

729

求0~maxn的素数并储存在 bool prime[maxn] 里如果 bool 占空间可以用 bitset #include<bitset> bitset<maxn>prime;//只有0 1 #include<iostream> #include<algorithm> #define For(i,a,n) for(register int i...

【素数判断】埃氏筛法和欧拉筛法（线性筛法）

libertye的博客

02-01

746

埃氏筛法

C++算法入门——质数筛(普通筛法,埃氏筛法,线性筛法)

2301_79644936的博客

02-19

2379

假设后续被筛掉的数为m，m可以看成m = i * prime(j+1) = k * prime(j) * prime(j+1) (k = i / primes[j])那么如果j继续++的话primes[j + 1] > primes[j]，后续被筛掉的数就不是被最小质因子筛去的。1.如果i % primes[j] == 0 说明 prime[j] 是 i 的最小质因子。把primes[j]

数学——埃氏筛与线性筛

Lucas_FC_的博客

07-20

312

质数筛法

埃氏筛法与线性筛法(重点！！！)

weixin_49959220的博客

10-01

402

作者： XiaXinyu 日期：2021-10-01 给定一个正整数 n，请你求出 1∼n 中质数的个数。输入格式共一行，包含整数 n。输出格式共一行，包含一个整数，表示 1∼n 中质数的个数。数据范围 1≤n≤106 输入样例： 8 输出样例： 4 1.埃氏筛法思路：将2—n中每一个数的倍数全部筛去，剩下的数就是2—n中的质数。反证法证明：假设将2—n中每一个数的倍数全部筛去，剩下的数中有合数ai 由合数的基本概念可知那么ai一定是a1—ai-1中某个数的倍数，与假设矛盾证.

埃氏筛法与欧拉筛(线性筛)(快速筛选n以内素数的个数)

weixin_44014303的博客

01-10

1272

文章目录前言一、埃氏筛法示例代码实现二、使用步骤1.引入库2.读入数据总结前言 埃氏筛法与欧拉筛(线性筛)是快速找出n以内素数的算法，其中埃氏筛法的时间复杂度是O(nlogn),而欧拉筛(线性筛)的时间复杂度接近O(n) 一、埃氏筛法 所谓筛法，就是在1-n的序列中，筛掉不符合的数，最终留下符合条件的数。利用一条定律：合数都是素数的倍数。从小到大，利用已有的素数num，将其的k倍，即k*num筛除掉。示例初始化一个序列，其中红色标记的代表素数： - 2 3 4 5 6 7 8 9

数学板块学习之埃氏筛法与线性筛

Tan_JX

04-30

505

埃氏筛法（复杂度O(NlogNlogN)） 埃氏筛法简单说就是先列出2-n的值，其中遇见第一个素数2，于是将所有2的倍数删去，继续往下走，下一个素数是3，再将所有3的倍数删去。 int prime[maxn+10]; bool vis[maxn+10]; int tot = 0; void init(){ memset(prime,0,sizeof prime); memset...

【狂热算法篇】带你弄懂埃氏筛与线性筛（欧拉筛）

小蜗牛的珍贵百宝箱

01-02

773

在本篇文章中，我们介绍了两种经典的素数筛选算法——埃氏筛（Sieve of Eratosthenes）和线性筛（欧拉筛）。通过对比可以发现，欧拉筛在时间效率上相比埃氏筛有显著提升，尤其是对于大规模数据的筛选更为高效。埃氏筛适用于小范围数据，容易理解并实现。欧拉筛则是对埃氏筛的优化，适用于大范围数据，具有更高的效率。通过理解这两种算法，你将能在不同的应用场景中选择最合适的素数筛选方法，提升算法的效率和应用性能。

找素数（质数）：线性筛法和埃氏筛法

weixin_46506910的博客

09-13

594

先看这道题洛谷P1217回文质数对于这道题，普通的暴力模拟会TLE,所以得寻求改进。这里我学会了两种方法；第一种：线性筛法 这种算法的核心思想就是：任何一个合数都可以由质数相乘得到下面就是核心代码，吃透了核心代码就可以在其中添加点细节，然后就可以拿去解决问题了 //这里需要开多大的数组取决自己 bool isprime[10000]; int prime[10000]; int b;//上限 for(int i=1;i<=b;i++) { isprime[i]=true;//这里这种标记，可

几种素数筛法：朴素筛 埃氏筛 线性筛 代码以及运行时间对比

wow_awsl_qwq的博客

12-30

249

几种素数筛法：朴素筛 埃氏筛 线性筛 代码以及运行时间对比

普通筛&埃氏筛&线性筛【详解+模板+例题】

2402_88147924的博客

03-26

1203

详细的介绍普通筛&埃氏筛&线性筛~，带你从入门到精通快速高效的学习，并分析三种方法的优缺点，以及它们的使用场景，大家加油哈~~~！

质数筛选法（埃氏筛法+线性筛）

smilng的博客

06-30

957

1.埃氏筛法基本原理：从小到大将每个质数的倍数筛去若某个数没有被它前面的数筛掉，那么它一定是质数。原因：它不是前面的2~p-1中任何一个数的倍数，那么它是质数时间复杂度：n*log(log(n))，接近线性 const int N = 1e6+5; bool isprime[N]; int prime[N]; int cnt; void init(int n) { isprime[...

筛法（埃筛、线性筛）学习笔记

zhanxufeng的博客

01-18

4270

Eratothenes筛法、埃筛及时间、空间效率优化 Euler筛法、Euler筛法的应用（求欧拉函数、约数个数函数、约数和函数）

埃氏筛 线性筛

03-14

<think>嗯，用户想了解埃氏筛法和线性筛法的区别及实现。首先，我得回忆一下这两种筛法的基本概念。埃氏筛法我记得是埃拉托斯特尼提出的，用来找出所有小于等于某个数的质数。它的原理是从小到大遍历每个数，如果是质数，就标记它的倍数，比如2是质数，就把4、6、8等标记为合数。这样一步步筛下去。但用户提到了线性筛法，也就是欧拉筛。线性筛法的目标是每个合数只被标记一次，这样可以减少重复操作，提高效率。埃氏筛法中，像数字6会被2和3都标记一次，导致重复。而线性筛法通过让每个合数只被最小的质因数筛掉，比如6只会被2筛掉，避免了重复。接下来需要比较两者的时间复杂度。根据引用中的资料，埃氏筛法优化后的时间复杂度是$O(n\log\log n)$，而线性筛法是$O(n)$。这说明线性筛法在大数据量时更高效。不过实际应用中，埃氏筛法的常数项可能更小，所以在某些情况下可能表现更好。然后是实现的区别。埃氏筛法实现起来比较简单，可以用一个循环，对每个质数的倍数进行标记。而线性筛法需要维护一个质数列表，并且对于每个数，用当前已知的质数去乘，直到遇到能整除当前质数的数为止，这样可以确保每个合数只被筛一次。还需要考虑空间复杂度。线性筛法需要额外的空间来存储质数列表，而埃氏筛法只需要一个布尔数组。这可能在小内存环境下有影响，但通常内存足够的话，线性筛法更优。用户提供的引用里提到，埃氏筛法像用加法筛，而线性筛法用乘法。这可能是指埃氏筛法通过不断加当前质数来标记倍数，而线性筛法则是用已有的质数相乘来生成合数。这点需要明确解释。另外，引用中提到，埃氏筛法的一个合数n一定有一个小于等于√n的质因子，这可能影响筛法的终止条件。而线性筛法通过最小质因子来确保每个合数被正确标记。最后，用户可能需要具体的代码示例来理解两者的实现差异。埃氏筛法的代码相对简单，双重循环；而线性筛法需要一个质数列表和更复杂的条件判断。代码示例能帮助用户直观看到区别。总结起来，回答应该包括原理对比、时间复杂度分析、实现方式差异以及各自的优缺点，同时给出代码示例和应用场景。需要确保使用正确的中文和LaTeX格式，并引用提供的资料。</think>### 埃氏筛法与线性筛法对比及实现 #### 一、原理区别 1. **埃氏筛法**：通过标记质数的倍数筛选合数。例如，找到质数$2$后标记$4,6,8,\dots$；找到质数$3$后标记$6,9,12,\dots$。每个合数可能被多次标记（如$6$被$2$和$3$各标记一次），时间复杂度为$O(n \log \log n)$[^3]。 2. **线性筛法**（欧拉筛）：确保每个合数仅被其最小质因数标记一次。例如，$6$只会被质数$2$通过$2 \times 3$标记，而不会在质数$3$时重复标记。时间复杂度优化为$O(n)$[^1]。 #### 二、实现差异 1. **埃氏筛法代码**： ```python def eratosthenes(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for j in range(i*i, n+1, i): # 从i²开始标记 is_prime[j] = False return primes ``` - **特点**：简单但存在重复标记，例如$12$会被$2$和$3$各标记一次。 2. **线性筛法代码**： ```python def linear_sieve(n): is_prime = [True] * (n+1) primes = [] for i in range(2, n+1): if is_prime[i]: primes.append(i) for p in primes: if i * p > n: break is_prime[i * p] = False if i % p == 0: # 关键：确保p是i*p的最小质因数 break return primes ``` - **特点**：通过`if i % p == 0`终止内层循环，保证每个合数只被最小质因数筛去[^1]。 #### 三、性能对比 | 筛法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 适用场景 | |------------|---------------|------------|------------------------| | 埃氏筛法 | $O(n \log \log n)$ | $O(n)$ | 小规模数据或快速实现 | | 线性筛法 | $O(n)$ | $O(n)$ | 大规模数据需高效去重 | #### 四、关键优化点 - 埃氏筛法改进：**从$i^2$开始标记**，减少冗余操作[^4]。 - 线性筛法核心：**用最小质因数终止循环**，避免重复标记。