【HEOI2015】小Z的房间

本文探讨了一类生成树计数问题,通过分析一个具体的题目背景,介绍了如何使用基尔霍夫矩阵结合高斯消元法求解生成树数量的方法,并提供了一段完整的C++实现代码。

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问题描述

你突然有了一个大房子,房子里面有一些房间。事实上,你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形,每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候,相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙,使得所有房间能够互相到达。在此过程中,你不能把房子给打穿,或者打通柱子(以及柱子旁边的墙)。同时,你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓,所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在,你希望统计一共有多少种可行的方案。

输入格式

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行,每行m个字符,每个字符都会是’.’或者’’,其中’.’代表房间,’’代表柱子。

输出格式

一行一个整数,表示合法的方案数 Mod 10^9

样例输入

3 3


.*.

样例输出

15

提示

对于前100%的数据,n,m<=9

题解

算是生成树计数的一道板题了吧,然而也有一些细节需要注意……
1.不满足条件的点(柱子)一定不能放到基尔霍夫矩阵里去(不要笑我,我是蒟蒻……)
2.本题模数不是质数,不满足费马小定理,要用辗转相除的思想解高斯消元。

代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9;
ll n,m,ans=1,tot,id[15][15],G[105][105],dx[4]={0,0,1,-1},dy[4]={1,-1,0,0};
char s[15][15];
void Gauss(ll n)
{
    bool flag=false;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ll j=i+1;j<=n;j++)
            while(G[j][i])
            {
                ll t=G[i][i]/G[j][i];
                for(ll k=i;k<=n;k++) G[i][k]=(G[i][k]-t*G[j][k]%mod+mod)%mod;
                swap(G[i],G[j]),flag^=1;
            }
        ans=ans*G[i][i]%mod;
    }
    if(flag) ans=mod-ans;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.') id[i][j]=++tot;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.')
            {
                ll t=id[i][j];
                for(ll k=0;k<4;k++)
                {
                    ll tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
                    if(tx>0&&ty>0&&tx<=n&&ty<=m&&s[tx][ty]=='.') G[t][id[tx][ty]]--,G[t][t]++;
                }
            }
    Gauss(tot-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}
### HEOI2016 和 TJOI2016 竞赛中的树相关数据结构问题 #### 1. 树链剖分的应用 对于涉及树的数据结构问题,树链剖分是一种非常有效的技术。通过将树分解成若干条重路径和轻边,可以在 \(O(\log n)\) 的时间复杂度内处理树上的查询和更新操作[^1]。 ```cpp void dfs1(int u, int f, int d) { fa[u] = f; dep[u] = d; siz[u] = 1; son[u] = 0; for (auto v : G[u]) { if (v == f) continue; w[v] = ++tot; top[tot] = v; dfs1(v, u, d + 1); siz[u] += siz[v]; if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v; } } ``` 此代码片段展示了如何利用深度优先搜索(DFS)来初始化树的相关属性,如父节点、深度、子树大小等,这些信息是后续实现树链剖分的基础。 #### 2. 动态开点线段树优化 针对某些特定场景下的动态区间修改与查询需求,采用动态开点线段树能够有效降低空间消耗并提高效率。这种方法特别适用于值域较大而实际使用的范围较小的情况,在这类情况下静态分配内存可能导致浪费过多资源[^3]。 #### 3. 倍增算法求LCA 倍增法用于快速计算两点之间的最近公共祖先(Lowest Common Ancestor),其核心思想是在预处理阶段记录每个结点向上跳转\(2^i\)步后的父亲位置,从而使得每次查找的时间复杂度降为常数级别[^5]。 ```cpp for (int j = 1; j <= max_level; ++j) for (int i = 1; i <= n; ++i) dp[i][j] = dp[dp[i][j - 1]][j - 1]; // 查询u,v的lca while (dep[u] != dep[v]) { if (dep[u] < dep[v]) swap(u, v); for (int k = max_level; ~k; --k) if ((1 << k) & (dep[u] - dep[v])) u = dp[u][k]; } if (u == v) return u; for (int k = max_level; ~k; --k) if (dp[u][k] ^ dp[v][k]) u = dp[u][k], v = dp[v][k]; return dp[u][0]; ``` 这段代码实现了基于倍增原理的LCA查询功能,其中`max_level`表示最大可能跳跃次数,通常取值不超过20即可满足大多数情况的需求。
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