【HEOI2015】小Z的房间

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--------生成树计数

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--------高斯消元

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本文探讨了一类生成树计数问题，通过分析一个具体的题目背景，介绍了如何使用基尔霍夫矩阵结合高斯消元法求解生成树数量的方法，并提供了一段完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

时间限制 : 1000 MS 空间限制 : 265536 KB

问题描述

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

输入格式

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。

输出格式

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

样例输入

3 3
…
…
.*.

样例输出

提示

对于前100%的数据，n,m<=9

题解

算是生成树计数的一道板题了吧，然而也有一些细节需要注意……
1.不满足条件的点（柱子）一定不能放到基尔霍夫矩阵里去（不要笑我，我是蒟蒻……）
2.本题模数不是质数，不满足费马小定理，要用辗转相除的思想解高斯消元。

代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9;
ll n,m,ans=1,tot,id[15][15],G[105][105],dx[4]={0,0,1,-1},dy[4]={1,-1,0,0};
char s[15][15];
void Gauss(ll n)
{
    bool flag=false;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ll j=i+1;j<=n;j++)
            while(G[j][i])
            {
                ll t=G[i][i]/G[j][i];
                for(ll k=i;k<=n;k++) G[i][k]=(G[i][k]-t*G[j][k]%mod+mod)%mod;
                swap(G[i],G[j]),flag^=1;
            }
        ans=ans*G[i][i]%mod;
    }
    if(flag) ans=mod-ans;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.') id[i][j]=++tot;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.')
            {
                ll t=id[i][j];
                for(ll k=0;k<4;k++)
                {
                    ll tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
                    if(tx>0&&ty>0&&tx<=n&&ty<=m&&s[tx][ty]=='.') G[t][id[tx][ty]]--,G[t][t]++;
                }
            }
    Gauss(tot-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}