【HEOI2015】小Z的房间

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问题描述

你突然有了一个大房子，房子里面有一些房间。事实上，你的房子可以看做是一个包含n*m个格子的格状矩形，每个格子是一个房间或者是一个柱子。在一开始的时候，相邻的格子之间都有墙隔着。
你想要打通一些相邻房间的墙，使得所有房间能够互相到达。在此过程中，你不能把房子给打穿，或者打通柱子（以及柱子旁边的墙）。同时，你不希望在房子中有小偷的时候会很难抓，所以你希望任意两个房间之间都只有一条通路。现在，你希望统计一共有多少种可行的方案。

输入格式

第一行两个数分别表示n和m。
接下来n行，每行m个字符，每个字符都会是’.’或者’’，其中’.’代表房间，’’代表柱子。

输出格式

一行一个整数，表示合法的方案数 Mod 10^9

样例输入

3 3
…
…
.*.

样例输出

15

提示

对于前100%的数据，n,m<=9

题解

算是生成树计数的一道板题了吧，然而也有一些细节需要注意……
1.不满足条件的点（柱子）一定不能放到基尔霍夫矩阵里去（不要笑我，我是蒟蒻……）
2.本题模数不是质数，不满足费马小定理，要用辗转相除的思想解高斯消元。

代码

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1e9;
ll n,m,ans=1,tot,id[15][15],G[105][105],dx[4]={0,0,1,-1},dy[4]={1,-1,0,0};
char s[15][15];
void Gauss(ll n)
{
    bool flag=false;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
    {
        for(ll j=i+1;j<=n;j++)
            while(G[j][i])
            {
                ll t=G[i][i]/G[j][i];
                for(ll k=i;k<=n;k++) G[i][k]=(G[i][k]-t*G[j][k]%mod+mod)%mod;
                swap(G[i],G[j]),flag^=1;
            }
        ans=ans*G[i][i]%mod;
    }
    if(flag) ans=mod-ans;
    ans=(ans%mod+mod)%mod;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(ll i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.') id[i][j]=++tot;
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        for(ll j=1;j<=m;j++)
            if(s[i][j]=='.')
            {
                ll t=id[i][j];
                for(ll k=0;k<4;k++)
                {
                    ll tx=i+dx[k],ty=j+dy[k];
                    if(tx>0&&ty>0&&tx<=n&&ty<=m&&s[tx][ty]=='.') G[t][id[tx][ty]]--,G[t][t]++;
                }
            }
    Gauss(tot-1);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}