证明：p为质数时（p-1）！的逆元为p-1

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证明：当p为质数时，(p-1)!的逆元为p-1。

若(p-1)!的逆元为p-1，则有

接下来证明(p-2)!与1同余。(p-2)!在模p的意义下等于1说明2~p-2可以分成若干对，每一对两两互为逆元(即每一个数乘完后可以被另一个数抵消)。由于p为质数，1~p-1的所有数都有逆元。只要证明2~p-2中的数的逆元都不等于自身即可。

证明：

显然x=0时有解a=1
若x!=0，则说明(a+1)(a-1)一定是p的倍数。p为质数，在[2,p-1]中只有当a=p-1才可能出现p的倍数。

因此，(p-1)!的逆元为(p-1)。

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