乘法逆元+线性求mod p的所有数逆元

http://blog.youkuaiyun.com/acdreamers/article/details/8220787

逆元存在的

求单个逆元，一般用快速冪或者扩展欧几里得算法，复杂度为log(p)。

若是递推求解所有逆元，复杂度为线性。

http://blog.miskcoo.com/2014/09/linear-find-all-invert

[数论]线性求所有逆元的方法

 September 7, 2014   miskcoo   Algorithm, Math

前几天在看 lucas 定理的时候发现要求  1, 2,⋯,p−1modp 1, 2,⋯,p−1modp 的逆元，然后就看到了一个  Θ(n) Θ(n) 的做法发现太神了，虽然想起来是挺简单的

这个做法实际上是这样的，首先  1−1≡1(modp) 1−1≡1(modp)

然后我们设  p=k⋅i+r, r<i, 1<i<p p=k⋅i+r, r<i, 1<i<p

再将这个式子放到 modp modp 意义下就会得到

k⋅i+r≡0(modp) k⋅i+r≡0(modp)

两边同时乘上  i−1⋅r−1 i−1⋅r−1 就会得到

k⋅r−1+i−1i−1i−1≡≡≡0−k⋅r−1−⌊pi⌋⋅(pmodi)−1(modp)(modp)(modp)  k⋅r−1+i−1≡0(modp)i−1≡−k⋅r−1(modp)i−1≡−⌊pi⌋⋅(pmodi)−1(modp) 

于是就可以从前面推出当前的逆元了，代码也就一行

C++

1	A [ i ] = - ( p / i ) * A [ p % i ] ;