BZOJ 4869 [Shoi2017]相逢是问候 扩展欧拉定理+线段树

Description

Informatikverbindetdichundmich.

信息将你我连结。B君希望以维护一个长度为n的数组，这个数组的下标为从1到n的正整数。一共有m个操作，可以

分为两种：0 l r表示将第l个到第r个数（al,al+1,...,ar）中的每一个数ai替换为c^ai，即c的ai次方，其中c是

输入的一个常数，也就是执行赋值ai=c^ai1 l r求第l个到第r个数的和，也就是输出：sigma(ai),l<=i<=rai因为

这个结果可能会很大，所以你只需要输出结果mod p的值即可。

Input

第一行有三个整数n,m,p,c，所有整数含义见问题描述。

接下来一行n个整数，表示a数组的初始值。

接下来m行，每行三个整数，其中第一个整数表示了操作的类型。

如果是0的话，表示这是一个修改操作，操作的参数为l,r。

如果是1的话，表示这是一个询问操作，操作的参数为l,r。

1 ≤ n ≤ 50000, 1 ≤ m ≤ 50000, 1 ≤ p ≤ 100000000, 0 < c <p, 0 ≤ ai < p

Output

对于每个询问操作，输出一行，包括一个整数表示答案mod p的值。

Sample Input

4 4 7 2
1 2 3 4
0 1 4
1 2 4
0 1 4
1 1 3

Sample Output

0
3

HINT

 鸣谢多名网友提供正确数据，已重测！

传送门

直接做似乎有点不可做，，

虽然知道扩展欧拉定理但是还是不会= =

一个感觉当然是假如x操作后，c^x=x，那么显然x就没有必要再去更改了。

但是……这个是若干次操作后一定存在的吗？

存在的话是最多几次呢？

……答案是肯定的。

假设一个x，那么一次操作变成c^x，两次变成c^(c^x)

根据扩展欧拉定理，假设x>phi（p），

c^x=c^(x%phi(p)+phi(p))

令其为t，

两次的话，变成了c^t，

再次利用定理的话，其实就是

c^t=c^(t%phi(p)+phi(p))    (mod p)

观察一下：t%phi(p)其实就是c的若干次方%phi(p)，所以t可以满足：

t=c^x=c^[c^(x%phi(phi(p))+phi(phi(p)))%phi(p)+phi(p)]      (mod p)

……形成了一个递归结构。。

（不太会用markdown，，式子就很丑了QAQ）

然后对于一个p，p->phi(p)->phi(phi(p))->……->1，

这个过程有多长呢？对于一个偶数，求一次phi就会减小一半大小，

而对于奇数，假如是质数就会变成偶数，而假如不是质数其实也是一样的，

根据欧拉函数公式，某一个奇数因子减1之后一定会变成偶数的，

所以奇数求欧拉函数会变成偶数。

所以这个过程最长长度是log(p)

知道了这个结论的话。。对于c^(c^(c^……

对于求幂次的次数，简称为“层数”

那么就是说最上面的一层x%phi(p)+phi(p)，这个phi(p)=1

于是x%phi(p)+phi(p)=1，对于任意的x，

那么层数再多下去，上面再多叠几层，都是没有影响的了，

真正有效的层数始终只有O(log(p))，

所以暴力的时间复杂度就被保证了。

接下来用一个线段树维护即可。

线段树一个log……求层数一个log……每次快速幂还要一个log……

于是就3个log了……幸好bzoj 40s。。

但是洛谷就被光荣卡常TLE了。。。

听说有一种去掉快速幂log的方法。。不是很懂所以就没去管了。。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int read(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return x;
}
const int 
	N=50005;
int n,m,P,c,len,DEEPEST;
int a[N],dep[N],depphi[50],prime[1305];
bool notprime[10005];
struct Segment{int sum;bool flag;}seg[N<<2];
void up(int id){
	seg[id].sum=(seg[id<<1].sum+seg[id<<1|1].sum)%P;
	seg[id].flag=seg[id<<1].flag&seg[id<<1|1].flag;
}
int gcd(int a,int b){
	return (!b)?a:gcd(b,a%b);
}
void Pre_Prime(){
	notprime[1]=1;
	for (int i=2;i<=9974;i++){
		if (!notprime[i]) prime[++len]=i;
		for (int j=1;j<=len;j++){
			if (prime[j]*i<=9974) notprime[prime[j]*i]=1;
			if (i%prime[j]==0) break;
		}
	}
}
int phi(int x){
	ll t1=(ll)x;int p=1;
	while (p<=len && x>1){
		if (x%prime[p]==0){
			t1/=(ll)prime[p];
			t1*=(ll)prime[p]-1;
			while (x%prime[p]==0) x/=prime[p];
		}
		p++;
	}
	if (x!=1) t1*=(ll)x-1,t1/=(ll)x;
	return t1;
}
void Pre_Phi(int p){
	int t=phi(p);
	depphi[DEEPEST=0]=p;
	while (t!=p){
        depphi[++DEEPEST]=t;
        p=t,t=phi(p);
    }
	depphi[DEEPEST+1]=1;
/*	cout<<DEEPEST<<endl;
	for (int i=1;i<=DEEPEST;i++)
		cout<<depphi[i]<<' ';cout<<endl;*/
}
int ksm(int x,int y,int mod){
	int z=1,xx=x;
	while (y){
		if (y&1) z=(ll)z*xx%mod;
		y>>=1;
		xx=(ll)xx*xx%mod;
	}
	return z;
}
int calc(int d,int x){
	int t=x;
	if (t>depphi[d]) t=t%depphi[d]+depphi[d];
	while (d--){
		t=ksm(c,t,depphi[d]);
		if (gcd(c,t)!=1) t+=depphi[d];
	}
	return t%P;
}
void build(int id,int l,int r){
	if (l==r){
		seg[id].sum=a[l],seg[id].flag=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(id<<1,l,mid);
	build(id<<1|1,mid+1,r);
	up(id);
}
void update(int id,int l,int r,int gl,int gr){
	if (l==r){
		if (dep[l]>DEEPEST) return;
		seg[id].sum=calc(++dep[l],a[l]);
		if (dep[l]>DEEPEST) seg[id].flag=1;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	if (gl<=mid && !seg[id<<1].flag) update(id<<1,l,mid,gl,gr);
	if (gr>mid && !seg[id<<1|1].flag) update(id<<1|1,mid+1,r,gl,gr);
	up(id);
}
int query(int id,int l,int r,int gl,int gr){
	if (l>=gl && r<=gr) return seg[id].sum;
	int mid=(l+r)>>1,t=0;
	if (gl<=mid) t=((ll)t+query(id<<1,l,mid,gl,gr))%P;
	if (gr>mid) t=((ll)t+query(id<<1|1,mid+1,r,gl,gr))%P;
	return t;
}
int main(){
	Pre_Prime();
	n=read(),m=read(),P=read(),c=read();
	Pre_Phi(P);
	for (int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	build(1,1,n);
	int opt,l,r;
	while (m--){
	    opt=read(),l=read(),r=read();
		if (!opt) update(1,1,n,l,r);
			else printf("%d\n",query(1,1,n,l,r));
	}	
	return 0;
}