图像处理学习笔记（三）——频域变换理论基础

线性系统

系统的定义：接受一个输入，并产生相应输出的任何实体。系统的输入是一个或两个变量的函数，输出是相同变量的另一个函数。

线性系统的定义：对于某特定系统，有：
x1(t) --> y1(t)
x2(t) --> y2(t)
该系统是线性的当且仅当：
x1(t) + x2(t) --> y1(t) + y2(t)
从而有：
a·x1(t) --> a·y1(t)

线性系统的性质：
移不变性
定义：对于某线性系统，有：
x(t) --> y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有：
x(t - T) --> y(t - T)
则称该线性系统具有移不变性

卷积
定义：对于一个线性系统的输入f(t)和输出y(t)，其间必定存在关系：

h(t)称为线性系统的单位冲激响应函数，其含义为：当线性系统输入f(t)为单位脉冲函数时，线性系统的输出响应，上式称之为卷积积分。

脉冲函数
定义：

极限定义：脉冲函数可以看做是一系列函数的极限，这些函数的振幅逐渐增大，持续实践逐渐减少，而保持面积不变。

卷积积分，折叠---->平移---->相加

相关
定义：任意两个信号的相关函数定义为：

相关与卷积的关系
Rfg(t) = f(t) · g(t) = f(-t) * g(t)

正交变换

连续函数集合的正交性
正交函数集合 U = {u0(t), u1(t), ...}
当C = 1时，称集合为归一化正交函数集合，即每一个向量为单位向量。其物理意义为多维空间坐标的基轴方向互相正交。

正交函数集合的完备性

在线性空间中就是指构成这个空间的基是相互正交的，即这个空间中所有的向量都可以由这组基线性表出，而且这些基又相互正交。正交也就是在三维空间中垂直的意思。
拓展开，在许多更具体的问题中都是这样。例如，函数集合的标准正交基是：sin(NX),cos(NX),N取整数。这样就可以说这组函数是完备正交的。 因为任何一个函数都可以由他们通过线性叠加而构成，傅立叶级数以及傅立叶变换就是以此研究的。并且他们相互垂直，也就是他们中任何两个不同的函数在一个周 期中对这两个函数的乘积的积分都为零，相同的函数结果为1。在几何空间中，三维空间，就是长宽高，三个方向相互垂直，并且可以表示其中的任何一个点（也就是向量）。

对于离散情况下的N个正交向量，有
a₁ = [a₁₁ a₂₁ ··· a_n1]^T， a₂ = [a₁₂ a₂₂ ··· a_n2]^T，··· a_n = [a_1n a_2n ··· a_nn]^T，
有

当C = 1时，称为归一化正交。
若A =a₁+a₂+···+a_n，必然满足A^TA = A A^T = I

一维正交变换
对于一维向量f，用上述正交矩阵进行运算：
g = A f
若要恢复f，则
f = A^-1g = A^Tg