UVa 10951 Polynomial GCD (数论)

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本文详细解析了UVa10951问题——多项式GCD，介绍了如何在Zn上的两个多项式中寻找最大公因式。通过使用辗转相除法，文章给出了具体的算法实现过程，并提供了C++代码示例。

UVa 10951 Polynomial GCD

题目大意:

给定两个 $Z_n$ 上的多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$ ,求出他们的 $gcd$ ,即 $Z_n$ 上的一个多项式 $r(x)$ ,使得其可以同时整除 $f(x)$ 和 $g(x)$ ,且次数尽量大.你找到的多项式的最高项系数应当为 $1$ .
(注意: $Z_n$ 下的多项式即系数为[0,n)区间内的整十数,也就是说在n进制下的计算).

题目分析:

求解最大公因数的方法是辗转相除法,也可以推广求最大公因式,问题在于如何定义模运算.

因为模运算的结果一定小于模数,如

$a=x^4+x^3+x^2+x+1,b=x^2+x+1$

所以 $a\%b$ 的结果一定是小于b的,那么结果的最高次项一定小于b的最高此项.
那么将 $a$ 中的 $x^4,x^3,x^2$ 均抵消掉即可.

代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

#define inv(x) pow_mod(x,MOD-2)

int MOD;

int pow_mod(int x,int y)
{
    int ret=1;
    while(y>0) {
        if(y&1) ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;y>>=1;
    }
    return ret;
}

struct Polynomial  {
    vector<int>poly;
    Polynomial operator % (const Polynomial& rhs) const {//a%b就是指将a中比b次数高的项抵消掉 
        Polynomial tmp=*this,ret;
        int t=tmp.poly.size()-rhs.poly.size();
        int v=inv(rhs.poly[0]);
        for(int i=0;i<=t;i++) {
            int d=tmp.poly[i]*v%MOD;
            for(int j=0;j<rhs.poly.size();j++)
                (tmp.poly[i+j]-=d*rhs.poly[j]%MOD-MOD)%=MOD;
        }
        int pos=-1;
        for(int i=0;i<tmp.poly.size();i++)
            if(tmp.poly[i]!=0) {pos=i;break;}
        if(pos>=0) for(int i=pos;i<tmp.poly.size();i++)
            ret.poly.push_back(tmp.poly[i]);
        return ret;
    }
    void input() {
        poly.clear();
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int t,i=0;i<=n;i++) {
            scanf("%d",&t);
            poly.push_back(t);
        }
    }
    void output() {
        printf("%d",poly.size()-1);
        int v=inv(poly[0]);
        for(int i=0;i<poly.size();i++) printf(" %d",poly[i]*v%MOD);
    }
}f,g,ans;

Polynomial gcd(Polynomial a,Polynomial b)
{
    return b.poly.size()?gcd(b,a%b):a;
}

int main()
{
    int kase=0;
    while(scanf("%d",&MOD)==1&&MOD) {
        f.input();g.input();
        ans=gcd(f,g);
        printf("Case %d: ",++kase);
        ans.output();
        printf("\n");
    }
    return 0;
}