LA 4270 Discrete Square Roots (扩展欧几里得+模方程)

LA 4270 Discrete Square Roots

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题目大意:

在模n的意义下,非负整数x的离散平方根是满足$0\leq r < n$的整数,所以一个x可能会有多个离散平方根.
输入x,n,r($1\leq x < n,2\leq n\leq 10^9,1\leq r\leq n$),输出数据编号和所有离散平方根,从小到大排序.

题目分析:

(又是一道扩欧的题,orz……)

已知$r^2\equiv x(mod \ n)$,则有$r^2-x=k_1n$,设$r'^2-x=k_2n$
所以$r'^2-r^2=k_3n$,则有$(r'+r)(r'-r)=k_3n$

设$a*b=n$,所以

$(r'+r)(r'-r)=k_3ab$
$r'+r\equiv a(mod\ n),r'-r\equiv b(mod\ n)$

(一开始的时候推导到这里就推不下去了,orz……)

$r'+r=ax,r'-r=by$
$(r'+r)+(r'-r)=ax+by$
$ax+by=2r'$

得到一个直线模方程$ax+by=2r'$,通过扩欧求解.
因为$a*b=n$,所以枚举的因子求解(详见代码).

代码:

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>

using namespace std;

typedef long long ll;

void exgcd(ll a,ll b,ll& g,ll& x,ll& y)
{
    if(!b) g=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,g,y,x),y-=x*(a/b);
}

ll x,n,r;
set<ll>ans;

void solve(ll a,ll b,ll c)//c=2r
{
    ll g,x,y;
    exgcd(a,b,g,x,y);//ax+by=gcd(a,c)
    if(c%g) return ;
    x*=c/g;//ax+by=c的一组解x0
    b/=g;//b'
    x=(x%b+b)%b;//x的非负整数解,x=x0+kb' 
    ll r=a*x-c/2;//r的一组解,可能为负 
    ll p=a*b;//p=a*b' 因为x=x0+k*b',r=ax+r'=k*a*b'+r'
    while(r<n) {
        if(r>=0) ans.insert(r);
        r+=p;
    }
}

int main()
{
    int kase=0;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&x,&n,&r)==3&&n) {
        ans.clear();
        ll m=sqrt(n);
        for(ll i=1;i<=m;i++) if(n%i==0)
            solve(i,n/i,2*r),solve(n/i,i,2*r);
        printf("Case %d:",++kase);
        for(set<ll>::iterator it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
            printf(" %lld",*it);
        printf("\n");
    }
    return 0;
}