<think>我们已知牛顿插值法可以通过差分表来构建插值多项式，并且当节点等距时可以使用前向差分或后向差分来简化计算。
用户要求使用牛顿差分法解决四阶插值问题，即构造一个四次多项式来插值。在等距节点的情况下，牛顿前向差分公式通常用于插值起始点附近的点，而后向差分用于末尾点附近的点。
步骤：
1. 假设我们有n+1个等距节点：x0, x1, ..., xn，步长为h，对应的函数值为y0, y1, ..., yn。
2. 计算差分表：一阶差分Δy_i = y_{i+1} - y_i，二阶差分Δ²y_i = Δy_{i+1} - Δy_i，依此类推，直到四阶差分（因为我们要做四次插值）。
3. 使用牛顿前向差分公式（如果插值点靠近x0）：
p(x0 + s*h) = y0 + s*Δy0 + [s(s-1)/2!]*Δ²y0 + [s(s-1)(s-2)/3!]*Δ³y0 + [s(s-1)(s-2)(s-3)/4!]*Δ⁴y0
其中s = (x - x0)/h，x为插值点。
4. 在Matlab中实现，我们需要：
a. 输入节点和函数值（至少5个点，因为四次插值需要5个点）。
b. 构建差分表（直到四阶差分）。
c. 根据插值点的位置选择前向或后向差分（这里要求四阶插值，我们假设使用前向差分）。
d. 编写插值公式。
注意：牛顿差分法在节点等距时适用，若节点不等距则应使用均差（即一般的牛顿插值）。
由于用户要求的是差分法，因此我们假设节点是等距的。
我们将给出一个Matlab函数，它接受一组等距节点（x）和对应的函数值（y），以及一个插值点（x_val），返回插值结果。
假设我们有五个等距节点：x0, x0+h, x0+2h, x0+3h, x0+4h，对应y0, y1, y2, y3, y4。
我们将计算前向差分表（直到四阶差分），然后使用前向差分公式。
函数设计：
function result = newton_forward(x, y, x_val)
% x: 节点向量（等距），例如 [0,1,2,3,4]
% y: 对应的函数值向量
% x_val: 需要插值的点
步骤：
1. 检查x是否等距（计算步长h，然后检查每个相邻间隔是否等于h），这里我们简化，假设用户输入的是等距节点。
2. 计算差分表：我们用一个矩阵diff_table来存储，其中第一列是y值，然后计算一阶差分，二阶差分等。
3. 确定插值点x_val相对于x0的位置：s = (x_val - x(1)) / h
4. 使用牛顿前向公式计算插值结果。
注意：我们的差分表只需要前向差分的第一条对角线（即diff_table(1,1), diff_table(1,2), diff_table(1,3)等），因为前向差分是从第一个点开始的。
差分表构建示例（五阶差分表，但只到四阶）：
阶数0: y0, y1, y2, y3, y4
阶数1: Δy0 = y1-y0, Δy1=y2-y1, Δy2=y3-y2, Δy3=y4-y3
阶数2: Δ²y0 = Δy1 - Δy0, Δ²y1 = Δy2 - Δy1, Δ²y2 = Δy3 - Δy2
阶数3: Δ³y0 = Δ²y1 - Δ²y0, Δ³y1 = Δ²y2 - Δ²y1
阶数4: Δ⁴y0 = Δ³y1 - Δ³y0
在存储时，我们可以用一个矩阵，也可以用一个向量（只保存需要的第一条前向对角线：即每个阶次的第一个差分）。这里为了简单，我们只构建一个存储前向对角线的向量（即每个阶次的第一个差分）。
因此，我们只需要一个向量F，长度为5（5个点），其中：
F(1) = y0
F(2) = Δy0
F(3) = Δ²y0
F(4) = Δ³y0
F(5) = Δ⁴y0
如何计算F？
我们可以通过迭代计算差分，然后取每个差分阶次的第一个值。
另一种方法是构建整个差分表（下三角矩阵），然后取第一行（即每个阶次的第一个差分）。这里我们构建整个差分表（虽然只用到第一行，但这样思路清晰）。
我们构建一个n x n的矩阵（n为节点个数），其中第1列是y值，第2列是一阶差分，第3列是二阶差分，等等。
步骤：
diff_table = zeros(n, n);
diff_table(:,1) = y(:); % 第一列是y值
for j = 2:n
for i = 1:n-j+1
diff_table(i,j) = diff_table(i+1,j-1) - diff_table(i,j-1);
end
end
然后，我们需要的F就是diff_table(1,1:n)吗？注意：第一列是0阶差分，第二列是一阶差分，但是diff_table(1,2)是一阶差分的第一个值，即Δy0，所以我们只需要第一行（从第1列到第n列）？实际上，对于前向公式，我们只需要第一行的第1到第n列。但是，由于我们只有5个点，需要四阶差分，所以n=5，我们取第一行1:5列的值。
然后计算插值多项式：
s = (x_val - x(1)) / h;
result = F(1);
term = 1;
for i=2:n % i表示阶数，从1阶到4阶（即i=2,3,4,5）
term = term * (s - i + 2) / (i-1); % 注意：这里分母是阶乘，但我们用递归乘积，分子是(s-0)(s-1)...(s-i+2)？具体因子：第k阶的因子是s(s-1)...(s-k+1)/k!
% 实际上，第k阶（k从0开始，k=0对应常数项，k=1对应一阶项）的系数是F(k+1)，而该项的基是s(s-1)...(s-k+1)/(k!)?
% 我们重新调整循环：设阶数k从0（0阶）到4（4阶），其中k=0时就是F(1)，然后k=1时，项为F(2)*s，k=2时，项为F(3)*[s(s-1)/2!]，等等。
因此，我们可以这样写：
result = F(1);
s = (x_val - x(1)) / h;
for k=1:n-1 % k从1到4，因为n=5，所以k=1,2,3,4
term = F(k+1);
for j=0:k-1
term = term * (s - j);
end
term = term / factorial(k);
result = result + term;
end
但是，我们可以避免使用factorial函数，而采用累积的方式：
result = F(1);
s_val = s;
term = 1;
for i=2:n % i表示当前阶数（从1阶开始）
term = term * (s_val - (i-2)) / (i-1); % 这里需要仔细推导因子的关系
% 实际上，第i-1阶差分对应的项是：F(i) * [s(s-1)...(s-i+2)] / (i-1)!
% 而上面的循环中，term在i=2时：term = 1 * (s-0)/1 = s，然后乘以F(2)加到结果中，但是注意：我们没有在term中乘以F(i)。
% 所以我们需要调整：
% 另一种常见写法：
% p = F(1);
% prod = 1;
% for i=1:n-1
% prod = prod * (s - (i-1));
% p = p + F(i+1) * prod / factorial(i);
% end
为了避免内循环，我们可以这样做：
result = F(1);
prod = 1;
for i=1:n-1
prod = prod * (s - (i-1));
result = result + (F(i+1) * prod) / factorial(i);
end
但是，注意：在牛顿前向公式中，四阶项应该是：F(5) * [s(s-1)(s-2)(s-3)]/factorial(4)
因此，上述循环是正确的。
然而，我们也可以使用递归乘积而不调用factorial（特别是阶数不高的情况下，调用factorial也可以）。
编写Matlab代码：
注意：输入的x和y是行向量或列向量，节点数n=length(x)，这里我们要求n>=5（因为四阶插值至少需要5个点）。
步骤：
1. 检查节点是否等距：计算步长h = x(2)-x(1)，然后检查x(i+1)-x(i)是否都等于h（允许一定的浮点误差）。
2. 构建差分表（下三角矩阵），并取第一行作为前向差分向量F。
3. 计算s = (x_val - x(1)) / h。
4. 使用牛顿前向公式计算插值结果。
我们编写函数如下：
</think>### Matlab实现牛顿差分法解决四阶插值问题
牛顿差分法适用于**等距节点**的插值问题。四阶插值需要5个节点数据，核心是构造**前向差分表**并使用牛顿前向插值公式：
$$P(x₀ + sh) = y₀ + sΔy₀ + \frac{s(s-1)}{2!}Δ²y₀ + \frac{s(s-1)(s-2)}{3!}Δ³y₀ + \frac{s(s-1)(s-2)(s-3)}{4!}Δ⁴y₀$$
其中：
- $h$ 为节点间距
- $s = (x - x₀)/h$
#### Matlab代码实现
```matlab
function result = newton_forward(x, y, xi)
% 牛顿前向差分插值（四阶）
% 输入：x - 节点向量（等距）, y - 函数值, xi - 待插值点
% 输出：插值结果
n = length(x);
h = x(2) - x(1); % 计算步长
% 构建差分表 (5×5矩阵)
diff_table = zeros(n, n);
diff_table(:,1) = y(:); % 第一列为y值
for j = 2:n
for i = 1:n-j+1
diff_table(i,j) = diff_table(i+1,j-1) - diff_table(i,j-1);
end
end
% 计算参数s
s = (xi - x(1)) / h;
% 四阶插值计算
result = diff_table(1,1) ...
+ s * diff_table(1,2) ...
+ s*(s-1)/factorial(2) * diff_table(1,3) ...
+ s*(s-1)*(s-2)/factorial(3) * diff_table(1,4) ...
+ s*(s-1)*(s-2)*(s-3)/factorial(4) * diff_table(1,5);
end
```
#### 使用示例
```matlab
% 定义等距节点和函数值
x_nodes = 0:1:4; % 等距节点 (h=1)
y_values = [1, 2, 4, 8, 16]; % 对应函数值
% 计算x=1.5处的插值
interp_val = newton_forward(x_nodes, y_values, 1.5);
disp(['插值结果: ', num2str(interp_val)]);
% 可视化验证
figure;
plot(x_nodes, y_values, 'ro', 'MarkerSize', 10); hold on;
x_fine = linspace(0,4,100);
y_interp = arrayfun(@(t) newton_forward(x_nodes,y_values,t), x_fine);
plot(x_fine, y_interp, 'b-');
legend('原始数据', '牛顿插值曲线', 'Location', 'NorthWest');
title('四阶牛顿前向插值');
grid on;
```
#### 关键说明
1. **差分表构造**：
- 一阶差分：$Δy_i = y_{i+1} - y_i$
- 二阶差分：$Δ²y_i = Δy_{i+1} - Δy_i$
- 更高阶差分依次类推
2. **四阶插值要求**：
- 至少需要**5个等距节点**
- 插值点位置：$x₀ ≤ x ≤ x₄$
3. **适用场景**：
- 适用于插值点位于**数据区间前端**的情况
- 若插值点靠近末尾，需改用**后向差分公式**
#### 注意事项
1. 节点必须严格等距，否则需使用**牛顿均差插值**
2. 当插值点超出数据范围时，误差可能急剧增大
3. 更高阶插值可扩展差分表维度和计算公式
> 牛顿差分法通过差分表避免了节点增减时的重复计算，相比拉格朗日插值更高效[^1]。
---
### 相关问题
1. 如何验证四阶牛顿插值结果的精度？
2. 非等距节点情况下如何修改牛顿插值算法？
3. 牛顿前向差分和后向差分适用于什么场景？
4. 如何估计牛顿插值法的截断误差？
[^1]: 数值分析·学习 | 牛顿插值法 MATLAB 实现
这篇博客讨论了一种处理多项式函数f(x)=∑i=0kcixi与区间[l,r]更新的方法，通过差分数组和拉格朗日插值求解。在每次操作后，对区间[l,r]的和进行查询。代码实现中，使用了差分和多项式快速求值来优化计算，以解决规模为n=10^5，操作和查询次数分别为m和q=10^5的问题，且系数不超过10^9，多项式最高次幂不超过5。
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