拉格朗日插值法与牛顿插值多项式

最新推荐文章于 2024-08-01 11:03:33 发布

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本文介绍了多项式插值的基本概念，通过拉格朗日插值法和牛顿插值多项式阐述了如何在给定点上找到唯一的多项式函数。讨论了拉格朗日插值法的误差估计，并通过均差概念解释了牛顿插值法的高效计算过程。这两种方法在数值分析和数据拟合中有广泛应用。

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多项式插值

先有一个函数 $f (x)$ ，如果给定在区间 $[a, b]$ 上的 $n + 1$ 个点 $a<=x_0<x_1<···<x_n<=b$ ，已知 $f (x)$ 在这些点的函数值 $y_0,y_1,···,y_n$ ，现在要求一个次数不超过n次的多项式函数P(x)，使得 $P(x_i)=y_i$ ，这样的一个过程叫做多项式插值。现在问题是，是否一定存在这样的多项式，如果存在，这样的多项式是否唯一？
求解这个问题就等价于求解线性方程组： $\begin{cases} a_0+a_1x_0+a_2x_0^2+···+a_nx_0^n=y_0\\ a_0+a_1x_1+a_2x_1^2+···+a_nx_1^n=y_1\\·····················\\ a_0+a_1x_n+a_2x_n^2+···+a_nx_n^n=y_n \end{cases}$
这是一个关于系数 $a_0,a_1,···,a_n)$ 的线性方程组，考虑它的系数矩阵行列式： $\begin{vmatrix} 1 & x_0 &x_0^2 & x_0^3 ··· &x_0^n \\ 1 & x_1 &x_1^2 & x_1^3 ··· &x_1^n \\ 1 & x_2 &x_2^2 & x_2^3 ··· &x_2^n\\ ·&·&·&·&·\\ 1 & x_n &x_n^2 & x_n^3 ··· &x_n^n\\ \end{vmatrix}$
这是一个范德蒙行列式，它的值为： $∏0<=i<j<=n(xj−xi)\prod_{0<=i<j<=n}(x_j-x_i)$ ，由于 $x_j ≠ x_i$ ，这个行列式的值不等于零，因此系数矩阵满秩，该线性方程组有且只有一个解。
因此，给定一个点值序列 $x_0,y_0),(x_1,y_1),···,(x_n,y_n)$ ，如果这些点的横坐标互不相同，那么这个序列就可以被映射到一个唯一的多项式，反过来，如果给定互不相同的n+1个x，对于任意的两个不同的n次多项式，它们在这些x下的取值一定不完全相同，否则上述方程组就不应该只有一个解。因此点值序列与多项式之间存在一个一一对应的关系。
直接求解上述方程组可以得到结果，但是这个方法效率太低。

拉格朗日插值法

先从最简单的情况出发，即n=1时，这个时候对应的多项式应该是一条直线，由直线的两点式表示法有： $y_k\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_{k}} + y_{k+1}\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}$
观察这个式子，可以看到 $L (x)$ 实际上是两个线性函数 $lk(x)=xk+1−xxk+1−xk,lk+1(x)=x−xkxk+1−xkl_k(x)=\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k},l_{k+1}(x)=\frac{x-x_k}{x_{k+1}-x_k}$