阶乘分解（算法竞赛进阶指南 P136，质因数分解）_算法进阶指南质因数分解-优快云博客

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本文介绍了一种高效计算阶乘质因数分解的方法，通过预处理质数并统计每个质数在N!中出现的次数，实现了O(N+logN*logN)的时间复杂度。

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一.题目链接：

阶乘分解

二.题目大意：

给一个整数 N （N ≤ 1e6）

求 N！的质因数及其个数.

三.分析：

直接暴力是 O(N sqrt(N))，肯定不行.

不过可以先把 N 以内的质因数打表，再统计 1 ~ N 中每个质数出现的个数.

对于当前质数 prime[i] 来说

1 ~ N 中共出现了 N/prime[i] 次 prime[i]的倍数.

1 ~ N 中共出现了 N/prime[i]/prime[i] 次 prime[i] * prime[i] 的倍数.

...

这样便可在 O(N + logN * logN) 完成.

四.代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;

const int M = (int)1e6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;

int tot;
int prime[M + 5];
bool is_prime[M + 5];

map <int, int> mp;

void get_prime()
{
    memset(is_prime, 1, sizeof(is_prime));
    is_prime[0] = is_prime[1] = 0;
    for(int i = 2; i <= M; ++i)
    {
        if(is_prime[i])
            prime[++tot] = i;
        for(int j = 1; j <= tot && i * prime[j] <= M; ++j)
        {
            is_prime[i * prime[j]] = 0;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

int main()
{
    get_prime();
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= tot && prime[i] <= n; ++i)
    {
        int cnt = 0;
        ll num = prime[i];
        while(num <= n)
        {
            cnt += n / num;
            num *= prime[i];
        }
        mp[prime[i]] = cnt;
    }
    for(auto iter = mp.begin(); iter != mp.end(); ++iter)
        printf("%d %d\n", iter->first, iter->second);
    return 0;
}