T12 质因数的个数

描述

求正整数N(N>1)的质因数的个数。 相同的质因数需要重复计算。如120=2*2*2*3*5,共有5个质因数。

输入描述:

可能有多组测试数据,每组测试数据的输入是一个正整数N,(1<N<10^9)。

输出描述:

对于每组数据,输出N的质因数的个数。

示例1

输入:

120

输出:

5
#include <iostream>
#include <string>
#include <stack>
#include <valarray>

using namespace std;

bool f(int a) {    //判断是不是素数
    if (a <= 1) {
        cout << "no";
        return false;
    }
    double bound = sqrt(a);
    for (int i = 2; i <= bound; ++i) {
        if (a % i == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

int su(int a, int b) {    // 返回a~b之间的第一个素数,包括a
    for (int i = a; i < b; ++i) {
        if (f(i)) {
//            cout<<"i:"<<i<<endl;
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

int main() {
    int a, sum = 0, i = 2;
    cin >> a;
    int x = a;
    while (a != 1) {
        int t = su(i, x);
        if (a % t == 0) {
//            cout<<"t:"<<t<<endl;
            a = a / t;
            sum++;
            if (f(a)) {    //判断a此时是不是素数,是的话直接结束,会更省时间,不然数特别大的时候会超过1s,会超时
                sum++;
                break;
            }
            i = 2;

        } else {
            i++;
        }
    }
    cout << sum;
}

<think>好的,我现在要解决的问题是:如何用C++编写一个算法,统计区间[a,b]中每个质数作为因数出现的总次数。用户提供的引用内容中,有几个相关的代码示例,我需要参考这些内容,并结合自己的知识来设计解决方案。 首先,我需要明确问题的具体要求。题目要求统计区间内每个质因数的出现次数总和。例如,对于数字8,它的质因数是2、2、2,那么质数2在这里贡献了3次。所有数字分解后的质因数次数都要累加起来,最终输出每个质数的总次数。不过用户的问题可能更偏向于所有质因数出现的总次数,或者每个质数的出现次数总和?需要再仔细看问题描述。 根据用户的问题描述:“我想计算给定区间内每个质数作为因数出现的总次数”,也就是说,对于区间中的每个数k,分解质因数后,统计每个质因数出现的次数,然后累加所有质因数的次数。例如,如果区间内有6到10,那么每个数的分解情况如样例说明所示,总次数是2+1+3+2+2=10。但用户现在的问题可能不是总和,而是每个质数出现的次数,比如质数2在区间中出现多少次,质数3出现多少次,等等。不过原题中的样例输出是总和,而用户现在的问题可能更细化,需要统计每个质数的出现次数。 不过用户的原问题可能需要的是每个质数的总出现次数,例如在区间中,质数2出现了多少次,3出现了多少次,等等。所以需要分别统计每个质数作为因数出现的总次数。例如,在样例输入6到10中,分解后的质因数分别是: 6: 2,3 → 2出现1次,3出现1次 7:7 → 7出现1次 8:2,2,2 →2出现3次 9:3,3 →3出现2次 10:2,5 →2出现1次,5出现1次 所以总次数中,2的总次数是1+3+1=5次,3的总次数是1+2=3次,5出现1次,7出现1次。总和是5+3+1+1=10,与原样例结果一致。但用户现在的问题可能想要的是每个质数的次数,比如输出每个质数和对应的次数,而不仅仅是总和。但用户的问题描述可能没有完全明确,但根据问题中的提问,“统计区间[a,b]中所有质因数出现次数的算法”,可能是指统计每个质数在区间中作为因数出现的总次数之和,或者每个质数的总次数分别统计。需要根据问题来明确。 现在的问题可能分为两种情况: 1. 统计区间内每个质因数出现的次数总和,例如样例中的总和是10。 2. 统计每个质数在区间内各个数质因数分解中出现的次数,比如2出现5次,3出现3次等。 根据用户的问题描述,“我想计算给定区间内每个质数作为因数出现的总次数”,应该是第二种情况,即每个质数在区间内所有数的质因数分解中的总出现次数。例如,对于区间6到10,输出各个质数的次数,如2出现5次,3出现3次,5出现1次,7出现1次。或者可能用户需要的是每个质数的总次数之和,比如总和是5+3+1+1=10?但原样例的输出是总和,所以可能需要进一步明确。 但根据用户给出的引用[1]中的代码,原题是求每个数质因数分解的个数之和。例如,每个数质因数分解后的质因数个数相加,比如6的质因数个数是2个(2和3),但用户现在的问题是要统计每个质数出现的总次数,比如在分解过程中每个质数被使用的次数总和,例如对于8=2^3,质数2出现3次。所以现在的问题可能需要的是每个质数的总次数,而原题是求每个数质因数个数之和。 现在用户的问题是,如何用C++实现统计每个质数作为因数出现的总次数,即每个质数在区间内所有数的质因数分解中的次数总和。例如,质数2的总次数是5(在6、8、10中出现,次数分别为1、3、1),3的总次数是3(在6、9中各出现1和2次),等等。 那么,如何实现这个功能呢? 首先,我们需要遍历区间中的每个数k。对于每个k,进行质因数分解,并统计每个质因数的次数,然后将这些次数累加到对应的质数的总次数中。例如,分解k时,得到质因数p1出现e1次,p2出现e2次,那么总次数中p1的次数增加e1,p2的次数增加e2,依此类推。 所以,我们需要一个数据结构来记录每个质数的总出现次数,比如用一个哈希表或者数组,其中键是质数,值是该质数出现的总次数。 接下来,如何高效地进行质因数分解?对于每个k,分解质因数的方法通常是试除法,即从2开始,逐个试除,直到k变为1。例如,对于k=8,先用2试除,得到商4,继续用2试除,直到无法整除,此时统计2的次数为3次。然后继续试除下一个可能的因数,直到商为1。 但试除法在k很大时可能效率较低,但根据题目中的数据规模是a和b<=10000,这样的规模试除法是可以接受的。 所以,算法的大致步骤是: 1. 遍历区间中的每个数k,从a到b。 2. 对每个k进行质因数分解,记录每个质因数及其出现的次数。 3. 将这些次数累加到全局的统计结果中。 4. 最后输出每个质数及其对应的总次数。 现在需要考虑如何高效地分解质因数。例如,用户提供的引用[1]中的代码,分解每个k的方式是: while(m>1){ i=2; while(m%i!=0) i++; n++; m/=i; } 这里的n统计的是每个k的质因数个数,例如对于8,分解为3次i=2,所以n增加3次。但这里的问题在于,i可能不是质数吗?比如,当m是某个合数时,i可能增加到合数,比如4,但此时是否m%4==0?例如,当m=4的时候,试除到i=2时已经分解过,所以当m被分解到只剩4时,此时i=2,m%i==0吗? 例如,对于k=8: 初始m=8。 i=2,8%2==0,次数n加1,m变为4。循环继续。 i=2,4%2==0,次数加1,m变为2。循环继续。 i=2,2%2==0,次数加1,m变为1。循环结束。 这样确实正确统计了次数。因为即使i不是质数,例如当m=9时,i从2开始试除,无法被2整除,i增加到3。此时m%3==0,所以次数加1,m变为3,循环继续。i再次从2开始,但此时m=3,无法被2整除,i增加到3,此时m%3==0,次数加1,m=1。循环结束。这样统计的是3的次数两次,正确。这说明,虽然i递增,但当m被分解到只剩下质因数时,此时的i只能是质数,因为合数已经被分解了。例如,当分解到i=4时,如果m%4==0,那么必然存在比4小的质因数,比如2,因为4=2*2。所以在之前的分解步骤中,m已经被分解了所有可能的2的因数,所以此时m%4不可能为0。因此,i的递增虽然可能包括合数,但在分解过程中,m已经被分解到其最小的质因数之后,所以i不会被合数整除。因此,这种分解方法是正确的,可以正确得到每个质因数的次数。 所以,可以按照这个思路,对每个k进行分解,并统计每个质因数的次数。例如,分解k时,每找到一个质因数i,就统计该质因数的次数,并将次数加到对应的总次数中。 那么,如何统计每个质因数的次数?例如,当分解k=8时,质因数2的次数是3次,应该将其加到总次数的2的计数器中。 所以,在代码中,可以维护一个map<int, int>来记录每个质数出现的次数。例如,当分解出一个质因数i时,我们需要计算该质因数在k的分解中的次数,然后将次数加到map[i]中。 例如,分解k=8: 初始化m=8。 循环分解: i=2,然后计算m中有多少个i的因数。例如,当m%i==0时,我们一直除以i,直到不能整除,并统计次数。 例如,在分解过程中,当i=2时,次数是3次。因此,将map[2] +=3。 所以,分解每个质因数时,需要计算其出现的次数,并将该次数累加到对应的质数的总次数中。 那如何在分解过程中统计次数?例如,对于i=2,在分解m时,当m%i==0时,循环除以i,并统计次数: int count =0; while(m%i ==0){ count++; m /=i; } 然后将count加到map[i]中。 因此,修改原来的分解过程: 对于每个k,分解过程如下: m =k; while(m>1){ i=2; while(m%i !=0) i++; //此时i是m的最小质因数 int count =0; while(m%i ==0){ count++; m /=i; } map[i] +=count; } 这样,每个质因数i的次数会被正确统计。 这样,整个算法的流程是: 遍历k从a到b: 对每个k进行质因数分解: 找到每个质因数i,并统计i的次数count 将count累加到map[i] 最后,遍历map,输出每个质数和对应的总次数。 这样就能得到每个质数在区间内作为因数出现的总次数。 接下来需要考虑如何实现这个算法。由于数据规模是a和b最大到1e4,每个数分解的时间复杂度大致是O(sqrt(k)),但k最大是1e4,所以总的时间复杂度是O( (b-a+1)*sqrt(b) )。对于b=1e4,这样的时间应该是可以接受的。 例如,当b-a=1e4时,总共有1e4次循环,每次分解可能需要O(1e2)次操作(因为sqrt(1e4)=100),所以总操作次数是1e6级别,这在C++中应该可以轻松处理。 接下来,如何用C++实现? 代码的大致结构: #include <iostream> #include <map> using namespace std; int main() { int a, b; cin >> a >> b; map<int, int> prime_counts; for (int k = a; k <= b; ++k) { int m = k; while (m > 1) { int i = 2; while (m % i != 0) { ++i; } // i是当前的最小质因数 int count = 0; while (m % i == 0) { count++; m /= i; } prime_counts[i] += count; } } // 输出结果 for (auto &entry : prime_counts) { cout << "质数" << entry.first << "出现次数:" << entry.second << endl; } // 或者按题目要求输出总和?需要看用户的具体需求。 // 但用户的问题是要统计每个质数的总次数,所以应该输出每个质数和次数。 return 0; } 例如,对于样例输入6到10,该程序的输出应该是: 质数2出现次数:5(分解6中的2一次,8中的三次,10中的一次) 质数3出现次数:3(分解6中的一次,9中的两次) 质数5出现次数:1 质数7出现次数:1 这样,每个质数的总次数被正确统计。 但原题中的样例输出是这些次数的总和,即5+3+1+1=10。但用户现在的问题是需要每个质数的次数,所以应该输出每个质数的次数,而不仅仅是总和。 因此,上述代码可以满足用户的需求。 现在,需要验证该算法的正确性。 例如,测试样例输入6到10: 当k=6时,分解为2和3,次数各1次。prime_counts[2]=1,prime_counts[3]=1。 k=7:分解为7,次数1。prime_counts[7]=1. k=8:分解为2三次。prime_counts[2] +=3 → 1+3=4. k=9:分解为3两次。prime_counts[3] +=2 →1+2=3. k=10:分解为2和5,各一次。prime_counts[2]=4+1=5,prime_counts[5]=1. 所以最终各个质数的次数是正确的。 因此,该算法是正确的。 接下来,需要考虑优化。例如,试除法在分解较大的数时可能效率较低,比如对于一个大质数k来说,分解需要试除到k本身。例如,当k是一个质数时,分解时会试除到i=k。例如,当k=9973(一个大质数),此时分解需要i从2一直增加到9973,此时时间复杂度较高。但是在题目给定的数据范围内(k<=1e4),最大的质数是9973,试除的次数最多是到9973次,这在1e4次循环中可能比较耗时。所以有没有更高效的质因数分解方法? 可能的优化方法包括预先生成质数表,然后只用质数去试除。例如,预先生成所有质数到1e4的平方根,然后在分解时只用这些质数去试除。这可能减少试除的次数。 例如,可以先用埃拉托斯特尼筛法生成所有质数到sqrt(1e4)=100,然后用这些质数来试除。这样,在分解m时,只需要用这些质数试除,如果最后m仍然大于1,则剩下的m本身也是一个质因数。 这样,可以优化分解过程。 例如,生成质数表到100: vector<int> primes = sieve(100); // sieve函数生成所有<=100的质数 然后在分解m时: for (int p : primes) { if (p*p > m) break; if (m % p ==0) { // 处理p的次数 } } if (m >1) { // m是质数,处理次数 } 但这样可能需要先生成质数表。这可能提高分解的效率,因为试除的次数减少。 例如,对于k=9973,用质数表试除到100,然后发现无法被任何质数整除,那么剩下的m=9973是质数,此时处理次数为1。 这比原方法试除到9973次快得多。因此,对于较大的质数来说,这样可以显著减少试除次数。 因此,如果用户的数据规模较大,可能需要这种优化。例如,当k的范围更大时,比如到1e6或更大,这种优化是必要的。但在当前的问题中,数据规模是到1e4,可能原方法已经足够。不过,为了提高效率,可以实施这种优化。 那么,如何修改代码? 步骤: 1. 预先使用埃拉托斯特尼筛法生成所有质数到sqrt(b)的最大可能值。因为当分解m时,最大的质因数可能到sqrt(m),如果m是一个合数。而最大的m是b=1e4,所以sqrt(b)=100。因此,生成质数到100即可。 生成质数到100: vector<int> primes; void sieve(int n) { vector<bool> is_prime(n+1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i=2; i*i <=n; ++i) { if (is_prime[i]) { for (int j=i*i; j<=n; j+=i) { is_prime[j] = false; } } } for (int i=2; i<=n; ++i) { if (is_prime[i]) primes.push_back(i); } } 然后,在分解每个m时,首先用primes中的质数试除,之后如果剩下的m>1,则本身是质数。 修改分解过程: for (int k=a; k<=b; ++k) { int m =k; for (int p : primes) { if (p*p > m) break; if (m % p ==0) { int count=0; while(m%p ==0) { count++; m /=p; } prime_counts[p] += count; } } if (m >1) { prime_counts[m] +=1; } } 这样,分解每个m时,首先用质数表中的质数试除,之后处理剩下的m是否为质数。 这种方法可能比原方法更高效,因为试除的次数减少到质数表中的质数数目,而质数到100的数目大约是25个,所以每个数的分解次数减少。 例如,当m是质数时,只需要试除到100,如果未被整除,则剩下的m是质数。这样,对于大质数的分解时间大大减少。 但需要注意,生成的质数表必须包含所有质数到sqrt(b),即100。这可能比原方法更高效。 因此,代码可以优化为: #include <iostream> #include <map> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; vector<int> sieve(int n) { vector<bool> is_prime(n+1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i=2; i*i <=n; ++i) { if (is_prime[i]) { for (int j=i*i; j<=n; j+=i) { is_prime[j] = false; } } } vector<int> primes; for (int i=2; i<=n; ++i) { if (is_prime[i]) primes.push_back(i); } return primes; } int main() { int a, b; cin >> a >> b; int max_prime = sqrt(b); vector<int> primes = sieve(max_prime); map<int, int> prime_counts; for (int k = a; k <= b; ++k) { int m = k; for (int p : primes) { if (p*p > m) break; // 超过sqrt(m),不需要继续 if (m % p == 0) { int count = 0; while (m % p == 0) { count++; m /= p; } prime_counts[p] += count; } } if (m > 1) { // 处理剩下的质数 prime_counts[m] += 1; } } for (auto &entry : prime_counts) { cout << entry.first << " " << entry.second << endl; } return 0; } 这样,分解每个数质因数时,先用预先生成的质数表试除,剩下的m如果大于1,则必为质数,此时将其次数加1。 这种方法可能更高效,尤其是在处理较大的数值时。例如,对于k=9973,此时sqrt(k)≈99.86,所以生成的质数表到99即可。在分解时,先用质数表中的每个质数试除,发现无法被整除,剩下的m=9973是质数,次数加1。 测试样例输入6到10: 质数表生成到sqrt(10)=3.16,所以生成质数2和3。 分解k=6: m=6,质数表p=2: 6%2==0,count=1,m=3。继续循环。 p=3: 3%3==0,count=1,m=1。然后,剩下的m=1,不处理。所以prime_counts[2]=1,prime_counts[3]=1。但是根据优化后的代码,分解过程可能不同。 或者,代码中的分解过程可能有问题。让我们仔细看代码流程: 当k=6时,m=6。进入质数循环,primes是2,3。 处理p=2: 6%2==0 →count=1,m=3。循环继续,此时m=3,p=3(下一个质数)。 p=3: 此时 m=3,p=3。p*p=9>3 →break循环。然后剩下的m=3>1,所以prime_counts[3] +=1。 所以总次数: prime_counts[2] =1,prime_counts[3] =1+1=2? 这与正确结果不符。原来分解6的质因数是2和3,次数各1次。但优化后的代码分解后,prime_counts[2] +=1(在质数循环中处理p=2,count=1),然后在质数循环结束后,m=3,剩下的m>1,所以prime_counts[3] +=1。因此,总次数是2和2?这导致错误。 哦,这里发现了问题。优化后的代码在处理k=6时,分解的质因数2的次数正确,但剩下的m=3,没有被质数表中的3处理吗? 因为在质数循环中,primes中的质数包括3,因为max_prime=sqrt(10)=3,所以生成的质数表包括2和3。 在处理k=6时,分解过程: 初始m=6。 质数循环中的p=2: m%2==0 →count=1,m=3。此时,p=2循环结束,进入下一个p=3。 p=3,判断条件: p*p=9 > m=3 →break循环。因此,质数循环结束。剩下的m=3>1,所以prime_counts[3] +=1. 所以,总次数是2:prime_counts[2]=1,prime_counts[3]=1(来自质数循环处理) +1(来自剩下的处理)=2? 但正确分解6的次数是每个质因数出现一次,所以这里明显错误。 这说明优化后的代码存在问题。这是因为在质数循环中,质数p=3会被处理到吗? 当处理p=2时,m变为3。然后进入下一个p=3。此时,p=3是否会被处理? 因为质数循环的primes是[2,3]。处理完p=2后,进入p=3。此时m=3,p=3。 此时,p*p=9 > m=3 →条件p*p >m成立吗?是的,3*3=9>3。所以会break循环,不再处理p=3。因此,此时p=3没有被处理,而剩下的m=3被处理成质数,次数加1。 这样,在分解6时,质因数3的处理被拆分到质数循环中的p=3吗?没有,因为p=3的试除没有执行。因为当p=3时,p*p=9>m=3,所以直接break循环。因此,剩下的m=3被当作质数处理,次数加1。所以,质数3的次数被加了两次? 但分解6的质因数是2和3,每个出现一次。但优化后的代码处理结果导致prime_counts[2] +=1,prime_counts[3] +=1(来自质数循环处理)吗?或者质数循环中的p=3没有被处理? 这里需要仔细看代码逻辑。 在处理k=6时,分解过程: m=6,进入质数循环,遍历primes中的每个p。 p=2: m%2==0 →count=1,m=3. prime_counts[2] +=1. 继续循环到下一个p=3. 现在,检查p*p=3*3=9 > m=3 →条件成立,所以break循环。 因此,质数循环结束,剩下的m=3>1 →prime_counts[3] +=1. 因此,质因数3的总次数是1次,来自剩下的处理。所以,prime_counts[3] =1. 这与正确的分解结果一致。但是,在质数循环中的p=3没有被处理,因为m=3时,p=3的p*p=9>3,所以循环break了。但此时,质数p=3是否应该被处理? 例如,当m=3时,p=3是否应该被试除? 可能的问题出在质数循环的条件。质数循环是遍历所有primes中的p,直到p*p>m时break。但是,当m=3时,p=3,那么p*p=9>3,所以不会进入if (m%p ==0)的条件块。所以,质数p=3没有被处理,剩下的m=3被当作质数处理,次数加1。 因此,分解是正确的,得到的次数是2和3各一次。所以,在k=6的处理中,prime_counts[2]=1,prime_counts[3]=1。这符合正确结果。 那之前的错误判断可能哪里出错了? 哦,原来在优化后的代码中,分解质因数的方式是,先用质数表中的质数试除,如果某个质数p能整除m,则一直除尽,统计次数。之后,剩下的m如果大于1,则必是一个质数,将其次数加1。例如,在分解6时,经过质数2的处理,剩下的m=3,这时质数循环中的下一个质数是3,但是因为3*3>3,所以循环break,剩下的m=3被作为质数处理,次数加1。因此,正确统计了2和3各一次。 那在k=9的情况下,分解过程会是怎样的? k=9,m=9. 质数循环中的p=2: 9%2!=0,跳过。 下一个p=3: 9%3==0 →count=2(因为9/3=3,再次除以3,得到1),所以prime_counts[3] +=2。剩下的m=1,不会进入最后的处理。 所以,prime_counts[3] =2,这是正确的。 当k=8时: m=8. 质数循环中的p=2: 8%2==0 →count=3(8→4→2→1),所以prime_counts[2] +=3. 剩下的m=1,不处理。 正确。 当k=7时: 质数表生成到sqrt(10)=3,所以primes是2,3. 处理k=7时,质数循环中的p=2:7%2!=0. p=3:7%3!=0. 质数循环结束。剩下的m=7>1 →prime_counts[7] +=1. 正确。 因此,优化后的代码是正确的。 这可能是因为,质数循环中的p遍历所有质数到sqrt(b),但每个质数p的试除是在分解过程中进行的。例如,当m被分解为3时,质数循环中的p=3会被处理吗?当m=3时,p=3的p*p=9>3,所以循环break,不会处理。剩下的m=3会被视为质数处理。因此,每个质因数的处理是正确的。 因此,优化后的代码是正确的,并且效率更高。 综上,该算法的步骤是: 1. 生成所有质数到sqrt(b),使用埃氏筛。 2. 对于每个k在[a,b]区间内: a. 分解k的质因数,使用预先生成的质数表试除,统计次数并累加。 b. 剩下的m如果大于1,则作为质数处理,次数加1. 3. 最后输出每个质数及其总次数。 因此,C++代码可以按上述方式实现。现在,需要将此思路转化为代码,并确保正确性。 此外,需要注意当a和b的区间较大时,生成的质数表可能较小,例如当b=1e4时,sqrt(b)=100,质数表是到100的质数。这可以正确分解所有质因数,因为任何合数的质因数都不超过它的平方根。 因此,该算法是正确的,并且在时间效率上是可行的。</think>为了统计区间$[a,b]$中每个质数作为因数出现的总次数,可以采用质因数分解的方法。以下是分步实现的C++解决方案: ### 实现步骤 1. **生成质数表**:使用埃拉托斯特尼筛法生成$\sqrt{b}$以内的所有质数,用于快速试除。 2. **遍历区间分解质因数**:对每个数进行质因数分解,统计每个质因数的出现次数。 3. **处理剩余质数**:分解后若剩余数大于1,则其本身是质数,需单独统计。 ### C++代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <map> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; // 埃拉托斯特尼筛法生成质数表 vector<int> sieve(int n) { vector<bool> is_prime(n + 1, true); is_prime[0] = is_prime[1] = false; for (int i = 2; i * i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) { for (int j = i * i; j <= n; j += i) { is_prime[j] = false; } } } vector<int> primes; for (int i = 2; i <= n; ++i) { if (is_prime[i]) primes.push_back(i); } return primes; } int main() { int a, b; cin >> a >> b; int max_prime = sqrt(b); vector<int> primes = sieve(max_prime); map<int, int> prime_counts; for (int k = a; k <= b; ++k) { int m = k; // 使用质数表试除 for (int p : primes) { if (p * p > m) break; // 超过√m时停止 if (m % p == 0) { int count = 0; while (m % p == 0) { count++; m /= p; } prime_counts[p] += count; } } // 处理剩余的大于1的质数 if (m > 1) { prime_counts[m] += 1; } } // 输出结果 for (auto &entry : prime_counts) { cout << "质数 " << entry.first << " 出现次数: " << entry.second << endl; } return 0; } ``` ### 示例说明 输入`6 10`时,程序会输出: ``` 质数 2 出现次数: 5 质数 3 出现次数: 3 质数 5 出现次数: 1 质数 7 出现次数: 1 ``` - **2**的总次数:6的分解贡献1次,8的分解贡献3次,10的分解贡献1次。 - **3**的总次数:6的分解贡献1次,9的分解贡献2次。 - **5**和**7**分别来自10和7的分解。 ### 算法分析 - **时间复杂度**:生成质数表$O(\sqrt{b} \log \log \sqrt{b})$,分解每个数$O(\sqrt{k}/\log \sqrt{k})$,总体效率可接受[^1]。 - **空间复杂度**:质数表存储$O(\sqrt{b})$,哈希表存储$O(\text{质数数量})$。
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