树链剖分入门详解

最新推荐文章于 2025-01-20 18:33:42 发布

Tekim

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分类专栏： c++ 算法树链剖分文章标签： c++ 算法树链剖分线段树 ACM

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Tekim/article/details/102543127

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本文介绍了树链剖分的概念，用于解决在n个节点的树上，查询和修改任意两点间权值和的问题。通过前缀和优化，将树分解为链，结合LCA（最近公共祖先）来处理不在同一链的节点。讨论了线段树在数组和树结构中的应用，解释了如何通过线段树优化单点修改和区间查询的效率。文章还阐述了树链剖分中如何选取重链以减少操作次数，并提供了从节点到根节点最多经过2*logn条链的证明。最后，详细说明了线段树的建立和修改、查询操作的过程。

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先抛出一个问题，一棵n个点的树，每个点有一个不变的权值，m次询问任意两点之间的权值和。

最简单的算法：m次循环，每次从一个点出发，dfs累计走过的路径，直到到达另外一个点。

int dfs(int x,int fa,long long deep)
{
	d[x]=deep;
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int u=to[i];if(u==fa) continue;
		dfs(u,x,deep+w[i]); 
	}
}

如果你会前缀和，将其利用到树上，将一条条链想象成数组，于是乎我们就可以快速求出在一条链上的两点之间的权值和。

对于不在一条链上的点怎么办呢？我们求一下两点(a,b)的LCA，将（a,b）分为(lca,a)和(lca,b)，这样lca和每一个点都在一条链上了。

void get_treesum(int x,int fa)
{
	sum[x]=sum[fa]+a[x];
	for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
	{
		int u=to[i];if(u==fa) continue;
		get_treesum(u,x);
	}
}
long long get_ans(int x,int y,int lca)
{
	return sum[x]+sum[y]-sum[lca]-sum[fa[lca]];
}

如果还需要你支持一种操作：修改任意一个点的权值

我们还是先考虑处理的是数组，对于数组，我们不能再使用前缀和了，否则每次修改都是o(n)的，我们就可以使用线段树或者树状