hdu 1024 dp 解题报告

最新推荐文章于 2022-08-20 16:05:12 发布

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本文探讨了一个典型的DP问题——将n个数分成m段以获得最大和，并详细阐述了解决该问题的方法，包括递推公式的推导、时间复杂度从O(n^3)到O(n^2)的优化过程及空间复杂度的降低。

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

自己也是没想出怎么做，看了解题报告。

做完之后对DP能够有更深的理解。

求n个数分为m段的最大和。

首先比较难想到的是递推公式。

假设j个数分为i段，求最大和，第j个数为a[ j ]，当前状态为dp[ i ] [ j]。并且我们假定第j个数被分在最后一段中。

那么，可以分为两种情况： 1.第j个数与其前面的几个数共同成段 2.第j个数单独成段

对于第一种情况，dp[ i ][j] = dp[ i ] [ j - 1 ] + a[ j ]。对于第二种情况 dp[ i ][ j ] = max( dp[ i - 1 ] [ t ] ) + a[ j ] ， ( i - 1 <= t <= j - 1 )

由于是求最大，所以可得 dp[ i ] [ j ] = max(dp[ i ] [ j - 1]，max( dp[ i - 1][ t ] ) ) + a[ j ]

接下来做第一次压缩:

我们设法省去 max( dp[ i - 1][ t ] ) ，( i - 1 <= t <= j - 1 ) 对 t 的遍历。只要在计算dp[i - 1][ ] 对j遍历时保存每个 j 值所对应的 max( dp[ i - 1][ t ] ) 于pre[ i ] [ j ] 中

所以我们这样做：

对于每个i，我们遍历j并且计算dp[ i ] [ j ] 的值，用于计算dp[ i ] [ j+1]。

并且保存每个j值所对应的当前 max( dp[ i ] [ t ] ) ， ( i <= t <= j ) 于pre[ i ] [ j ] ，用于计算 dp[ i + 1] [ j ]

	for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            maxx = -100000000;//注意对于每个i都要初始化 maxx
            for(j = i; j <= n; j++)
            {
                 dp[i][j] = max(dp[i][j - 1]，pre[i - 1][j]  ) + a[j];
		 maxx = max( maxx, dp[i][j]);  //注意这一行和上面一行 的顺序，不能对调。 因为max( dp[i][t]）中 t的上界 是 j - 1。如果对调，上界变成 j 
            }
        }

上面的这次压缩是对时间的压缩，时间复杂度从 o(n^3) 变为 o(n^2)。

然后我们对空间进行压缩：

我们发现，对于一个特定的i ，计算 dp[ i ][ ] 时，我们只用到 dp[ i ][ ] ，而和 dp[ i - 1][ ]，dp[ i - 2][ ]的值都无关。

同时我们只用到 pre[i - 1][ ] ，而和 pre[ i - 2 ]，pre[ i - 3 ] 都无关。

所以我们每次只要保存 dp[ i ][ ] 这一组值，在计算dp[ i + 1][ ]时，就已经可以舍弃 dp[ i ][ ]了。

同样的我们只要保存 pre[ i - 1 ][ ] 这一组值就可以，计算dp[ i + 1] 时，就已经可以舍弃pre[ i - 1 ][ ] 了。

即，计算dp[ 3 ][ ] 时舍弃 dp[ 2 ][ ]保存dp[ 3 ][ ]，计算dp[ 4 ][ ] 时舍弃 dp[ 3 ][ ]保存dp[ 4 ][ ]。

我们可以看到，每次保存的只是一组数，dp根本没必要使用二维数组了。同样的，pre也不用二维数组了。

用dp[ j ]保存当前状态，在计算dp[ j + 1] 时调用，在遍历到下一个 i 时，用下一个dp[ j ]覆盖。

pre[ j ] 保存最大值，在计算dp[ j + 1 ] 时使用，在下一个i时覆盖。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
#define maxn 1000003
int a[maxn],m,n,dp[maxn],pr[maxn]; 

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
} 
int main()
{
    int i,j,maxx;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        memset(pr,0,sizeof(pr));
        for(i = 1; i <= n; i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        for(i = 1; i <= m; i++)
        {
            maxx = -100000000;
            for(j = i; j <= n; j++)
            {
                dp[j] = max(pr[j - 1],dp[j - 1]) + a[j];
                pr[j - 1] = maxx;
                maxx = max(maxx,dp[j]); 
            }
        }
        printf("%d\n",maxx);
    }
    return 0;
}