uva 11542 异或方程组

最新推荐文章于 2021-09-10 17:52:23 发布

Tczxw

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Tczxw/article/details/50718689

本文介绍了一种算法，用于解决从给定的正整数集合中找出所有可能的组合，使得这些组合的乘积为完全平方数的问题。通过使用01向量表示每个数的素因子，并构建方程组，利用高斯消元法求解自由变量数量，最终得到不同组合的数量。

#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
using namespace std;

const int maxn = 500 + 10;
const int maxp = 100;

int vis[maxn];
int prime[maxp];

int gen_primes(int n) {
  int m = (int)sqrt(n+0.5);
  memset(vis, 0, sizeof(vis));
  for(int i = 2; i <= m; i++) if(!vis[i])
    for(int j = i*i; j <= n; j+=i) vis[j] = 1;
  int c = 0;
  for(int i = 2; i <= n; i++) if(!vis[i])
    prime[c++] = i;
  return c;
}

typedef int Matrix[maxn][maxn];

// m个方程，n个变量
int rank(Matrix A, int m, int n) {
  int i = 0, j = 0, k, r, u;
  while(i < m && j < n) { // 当前正在处理第i个方程，第j个变量
    r = i;
    for(k = i; k < m; k++)
      if(A[k][j]) { r = k; break; }
    if(A[r][j]) {
      if(r != i) for(k = 0; k <= n; k++) swap(A[r][k], A[i][k]);
      // 消元后第i行的第一个非0列是第j列，且第u>i行的第j列均为0
      for(u = i+1; u < m; u++) if(A[u][j])
        for(k = i; k <= n; k++) A[u][k] ^= A[i][k];
      i++;
    }
    j++;
  }
  return i;
}

Matrix A;

int main() {
  int m = gen_primes(500);

  int T;
  cin >> T;
  while(T--) {
    int n, maxp = 0;
    long long x; // 注意x的范围
    cin >> n;
    memset(A, 0, sizeof(A));
    for(int i = 0; i < n; i++) {
      cin >> x;
      for(int j = 0; j < m; j++) // 求x中的prime[j]的幂，并更新系数矩阵
        while(x % prime[j] == 0) {
          maxp = max(maxp, j); x /= prime[j]; A[j][i] ^= 1;
        }
    }
    int r = rank(A, maxp+1, n); // 只用到了前maxp+1个素数
    cout << (1LL << (n-r))-1 << endl; // 空集不是解，所以要减1
  }
  return 0;
}

书上的代码：

题意：给出n个正整数，从中选出1个或者多个，使得选出来的整数乘积是完全平方数，一共有多少种选法。
思路：用01向量表示一个数，再用n个01向量来表示我们的选择，因为完全平方数要求素因子的次数一定要是偶数的，所以我们可以统计的将奇数当作1，偶数当作0，那么就是一组可以变换成oxr的方程组，最后的结果有自由变量f个，答案是2^f-1,f求解就是求n-方程组的秩