BZOJ4328 JSOI2012始祖鸟【异或方程组】

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高斯消元

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本文介绍了一个有趣的算法问题——始祖鸟聚会。问题要求合理分配始祖鸟到两个不同的聚会地点，使得每个地点内的始祖鸟认识的朋友数量均为偶数。通过使用异或方程组和高斯消元法，文章详细解释了解决方案，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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PROBLEM

现在有N只始祖鸟，我们从1开始编号。对于第i只始祖鸟，有Mi个认识的朋友，它们的编号分别是Fi,1，Fi,2，…，Fi,Mi。朋友的认识关系是单向的，也就是说如果第s只始祖鸟认识第t只始祖鸟，那么第t只始祖鸟不一定认识第s只始祖鸟。

聚会的地点分为两处，一处在上游，一处在下游。对于每一处聚会场所，都必须满足对于在这个聚会场所中的始祖鸟，有恰好有偶数个自己认识的朋友与之在同一个聚会场所中。当然，每一只始祖鸟都必须在两处聚会场所之一。

现在需要你给出一种安排方式。你只需要给出在上游的始祖鸟编号，如果有多组解，请输出任何一组解。

INPUT

输入数据包含N+1行，第一行是数字N，代表始祖鸟的个数。之后的N行，第i+1行的第一个数字是M[i]，表示第i只鸟的朋友个数。之后有M[i]个数字依次为 F[i][1]，F[i][2]，…，F[i][M[i]]表示第i只始祖鸟朋友的标号。

OUTPUT

输出数据包含2行，第一行有一个非负整数k，表示在上游参加聚会的始祖鸟个数。第二行有k个正整数，表示在这个k只始祖鸟的编号，你可以以任意顺序输出这些编号。如果无法满足要求，只输出一行“Impossible”。

EXAMPLES

in.
5
3 2 3 4
2 1 3
4 2 1 4 5
2 1 3
1 3

out.
3
1 2 3

SOL

发现本质在于选与不选，用异或方程组解决（高斯消元+bitset优化）

$A[i][2]*x[2]xor\dots A[i][n]*x[n]=0$
(1:上游 0：下游)

这是有两个问题：
1.这样只能让上游的成立，下游的不清楚
（有想过重新定义xor，即 1，2，0三个，发现不满足结合律，没法消元。。。）
2.还要考虑当前点放在上游或下游（如果下游那么这个方程就无意义）

学习了大佬的博客
找到了解决办法：

在原来的方程上，
分类讨论当前点选择上游或下游的成立条件:

如果当前出边为偶数：无论上游还是下游，都要有偶数个朋友选择上游

如果当前出边为奇数，若当前为1，要偶数个朋友为1 若当前为0 要奇数个朋友为1

这样稍微改一下系数就OK了

反思：
异或方程组的更改要思考 如何相互影响
（此题是通过出边奇偶性决定补集情况）（不是改异或。。。）

CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define pf printf
#define sf scanf
using namespace std;
const int maxn=2e3+10;
bitset<maxn> a[maxn];
int ans[maxn],amt=0,n;
inline void gauss(){
	for(int k=1;k<=n;++k){
		bool f=0;
		for(int i=k;i<=n;++i)if(a[i][k]){swap(a[i],a[k]);f=1;break;}
		if(!f)continue;
		for(int i=1;i<=n;++i)if(a[i][k]&&k!=i)a[i]^=a[k];
	}
	for(int i=n;i>0;--i){
		if(a[i][i]){
			ans[i]=a[i][n+1];amt+=ans[i];
		}
		else if(a[i][n+1]){
			puts("Impossible");
			exit(0);
		}
	}
}
signed main (){
	sf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int m;sf("%d",&m);
		if(m&1)a[i][i]=a[i][n+1]=1;
		while(m--){
			int f;sf("%d",&f);a[i][f]=1;
		}
	}	
	gauss();
	cout<<amt<<'\n';
	for(int i=1;i<=n;++i)if(ans[i])cout<<i<<' ';
	return 0;
}