L^2准则下的多项式逼近，一个比较有意思的问题吧

最新推荐文章于 2022-09-16 12:05:04 发布

原创最新推荐文章于 2022-09-16 12:05:04 发布 · 386 阅读

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本文详细解析了一种基于积分和偏导数的数学优化方法，通过构建矩阵方程组求解最佳参数，实现函数拟合。利用Mathematica进行编程实现，通过实例验证了该方法的有效性和准确性。

问题描述

在这里插入图片描述实际上： $f(a)=∫(g−∑0naixi)2=∫g2+∫(∑0naixi)2−2∫g∑0naixif(a)=\int(g-\sum_0^na_ix^i)^2=\int g^2+\int (\sum_0^na_ix^i)^2-2\int g\sum_0^na_ix^i$

求偏导数：
$∂f(a)∂ak=2∫(∑0naixi)xk−2∫g∗xk=0\frac{\partial f (a)}{\partial a_k} =2\int (\sum_0^na_ix^i)x^k-2\int g*x^k=0$

等价于：
$∑i=0naii+k+1=∫g∗xk,k=0,...,n\sum_{i=0}^n \frac{a_i}{i+k+1}=\int g*x^k,k=0,...,n$ 。

写成矩阵格式：
$[11/21/3⋯1/(n+1)1/21/31/4⋯1/(n+2)1/31/41/51/(n+3)⋮⋮⋮⋱1/(n+1)1/(n+2)1/(n+3)⋯1/(2n+1)][a0a1a2⋮an]=[g0g1g2⋮gn]\left[ \begin{array}{ccccc} 1 & 1 / 2 & 1 / 3 & \cdots & 1 /(n+1)\\ 1 / 2 & 1 / 3 & 1 / 4 & \cdots & 1 / (n + 2)\\ 1 / 3 & 1 / 4 & 1 / 5 & & 1 / (n + 3)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ 1 / (n+1) & 1 / (n + 2) & 1 / (n + 3) & \cdots & 1 / (2 n +1) \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} a_0\\ a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} g_0\\ g_1\\ g_2\\ \vdots\\ g_n \end{array} \right]$

其中： $gk=∫g∗xk,k=0,...,ng_k=\int g*x^k,k=0,...,n$

也就是： $A B = G$ 。

求解

Mathematica求解如下：

fit[g_, n_] := 
 Module[{G = Table[Integrate[g[x]*x^k, {x, 0, 1}], {k, 0, n}], 
   A = Table[1/(i + j + 1), {i, 0, n}, {j, 0, n}]},
  LinearSolve[A, G].Table[x^k, {k, 0, n}]]

测试：

g[x_] := Sin[2.*Pi*x];
n = 3;
l = fit[g, n];
Plot[{l, g[x]}, {x, 0, 1}, PlotLabel -> StringJoin["n=", ToString[n]],
  Frame -> True]

输出为在这里插入图片描述