若儿当标准型

1. 引言

这里略去若尔当块和若尔当矩阵的定义，主要是想谈谈自己对若尔当标准型的理解。

我们都知道的简单结论是，对于$n$阶方阵$A$，如果$A$有$n$个互异的特征值${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$，那么$A$是可以对角化的，并且向量空间$V=ker(A-{\lambda }_{1}I)+...+ker(A-{\lambda }_{n}I)$。

实际上对角化的过程也就是将全空间分解成矩阵$A$的不变子空间的直和的过程，比如$V=ker(A-{\lambda }_{1}I)+...+ker(A_n-{\lambda }_{n}I)$，这其实就是将空间$V$分解成$n$个一维子空间的过程。

但是当方程$det(A-\lambda I)=0$有重根的时候，$A$的特征值就少于$n$个，假设此时$A$有$r$个互异的特征值，分解$V=ker(A-{\lambda }_{1}I)+...+ker(A-{\lambda }_{r}I)$就可能会出问题，因为这些子空间维数的和有可能小于$n$。如果记特征值${\lambda }_i$的代数重数为$l({\lambda }_i)$，一般条件下只有$l({\lambda }_i)\ge dim(ker(A-{\lambda }_{i}I))$，二者相等时上面的分解才成立。

但是对任意一个矩阵$B$，很明显方程$B^{k}x=0$的解都是方程$B^{k+1}x=0$的解，即$ker(B^k)\subset ker(B^{k+1})$对任意正整数 $k$ 成立。所以一个想法是，如果重根${\lambda }_i$对应的$ker(A-{\lambda }_{i}I)$维数不够，那么能否用$ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k)$来代替。

当然了，想法虽然已经有了，但还需要两点条件：

• 一是存在某个$k$，使得$ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k)$的维数足够，即$l({\lambda }_i)=dim(ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k))$。
• 二是$ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k)$得是矩阵$A$的不变子空间。

下面给出一些引理说明这两点条件确实是满足的。

2.一些引理

第二个条件更直观，也更容易证明，先放在前面。

引理2.1 $ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k)$是矩阵$A$的不变子空间。

证明：只需要注意到 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k}u=0$ 意味着 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k}Au=A(A-{\lambda }_{i}I{)}^{k}u=0$，所以命题成立。

既然$ker((A-{\lambda }_{i}I{)}^k)$确实是不变子空间，现在就需要验证它的维数随着$k$“增加”，但是又不会超过$l({\lambda }_i)$。

引理2.2 若${\lambda }_i$为矩阵$A$的代数重数为$l_i$的特征值，那么dim{ker((A−λiI)li+k)}=lidim\{ker((A-\lambda_iI)^{l_i+k}) \}=l_idim{ker((A−λi​I)li​+k)}=li​对任意非负$k$成立

这里要简单应用一下Schur分解，Schur分解是说：任意一个复数矩阵$C$都相似于一个上三角矩阵$U$，即$T^{-1}CT=U$，且$U$的对角元为矩阵$C$的特征值。

应用这个定理先将$A$分解为$TU{T}^{-1}$且$U$的对角元为$diag(...,{\lambda }_i,...,{\lambda }_i)$，${\lambda }_i$的个数为其代数重数$l_i$，于是 $(A-{\lambda }_{i}I{)}^k=T(U-{\lambda }_{i}I{)}^k{T}^{-1}$ 且 $ker(T(U-{\lambda }_{i}I{)}^k{T}^{-1})=ker((U-{\lambda }_{i}I{)}^k)$。再把矩阵$U-{\lambda }_{i}I$写成$\left(\begin{array}{ll}C& D_0\\ 0& F\end{array}\right)$，其中$F$是一个严格上三角矩阵，$F$的阶数就是${\lambda }_i$的代数重数$l_i$。

于是$(U-{\lambda }_{i}I{)}^k=\left(\begin{array}{ll}{C}^k& D_k\\ 0& F^k\end{array}\right)$，注意到$F^k$严格上三角，所以$F^{l_i}=0$。另外再注意到$C$的对角元均不为0，所以$C^k$的对角元也都不为0。所以$rank((U-{\lambda }_{i}I{)}^k)=n-l_i$，于是$ker((U-{\lambda }_{i}I{)}^k)=l_i$。