[联合省选2022]最大权独立集问题

最大权独立集问题

题解

相当有趣的一道dp题。
我考场上全花时间去搞前两题了，T3只rush了一个暴力，亏大分。

首先我们可以考虑将原来的边交换的条件转化一下。
相当于我们要给每一个点规定一条不经过重复点的有向路径，使得所有点的路径加起来可以覆盖满整棵树。
显然，我们很容易通过这得到一种$dp$的思路。
可以发现，从子树节点的父亲往子树内覆盖的路径只会有一条，从子树内向父亲传递的点也只会有一个。
所以我们$dp$时不妨就记录这个路径回到哪一个点，子树内向上传递又会传递哪一个点。
显然，在一个点上我们需要枚举的就是选择边的顺序，是先父边，先左儿子，还是先右儿子，通过这从底向上转移。
但这样的话我们的$dp$状态总数是会达到$n^3$的，貌似不太能过的样子。
但不要着急，显然，传递到的点与向上传递的点不会在一棵子树内，该状态只会出现在这两个点的$lca$处。
所以，我们的状态数实际上是$n^2$的。
但我们上面的$dp$状态是可以继续被优化的，因为最后被传递到的位置我们真正关心的只有它的深度，我们把这个深度记到状态里面即可。

好的，我们现在$d{p}_{u,x,d}$表示我们现在对于点$u$的子树内，我们将会把点$x$传到它的父亲去，并且父亲传下来的点往下传长度为$d$的路径。
通过考虑边交换的执行顺序，容易得到$dp$转移式：
$$\begin{gathered} d{p}_{u,u,d_1}=d{p}_{lson,x,d_1-1}+d{p}_{rson,y,d_2}+(d_2+2)va{l}_x+va{l}_y \\ d{p}_{u,u,d_1}=d{p}_{rson,x,d_1-1}+d{p}_{lson,y,d_2}+(d_2+2)va{l}_x+va{l}_y \\ d{p}_{u,x,d_1}=d{p}_{lson,x,d_2}+d{p}_{rson,y,d_1-1}+(d_2+1)va{l}_u+va{l}_y+va{l}_x \\ d{p}_{u,x,d_1}=d{p}_{rson,x,d_2}+d{p}_{lson,y,d_1-1}+(d_2+1)va{l}_u+va{l}_y+va{l}_x \\ d{p}_{u,x,0}=d{p}_{lson,y,d_1}+d{p}_{rson,x,d_2}+(d_1+1)va{l}_u+(d_2+2)va{l}_y+va{l}_x \\ d{p}_{u,x,0}=d{p}_{rson,y,d_1}+d{p}_{lson,x,d_2}+(d_1+1)va{l}_u+(d_2+2)va{l}_y+va{l}_x \end{gathered}$$总共$6$个冗杂的方程，因为涉及到$lson$与$rson$的相对顺序，其实只有$3$个本质不同的转移。
现在，如果我们直接按照这个$dp$转移式去转移的话，是$O\left(n^4\right)$的，不太能过的样子。
但这明显是可以优化的。
比如第一个式子，我们发现，我们的$y$只会贡献到$d_2$上，对其它值根本没有影响，所以我们可以对于每个$d_2$找到它选择的最优的$y$，这个$d_2$之后再第一个转移中只会与这个$y$匹配。
同样，再这之后，我们的$d_2$也只会被贡献到$x$上，对于其他值根本没有影响，，所以我们再对于每个$x$找到这个$d_2$。
最后，用同样的方式，把$x$贡献到$d_1$上，每个$d_1$又会对应到唯一的$d{p}_{u,u,d_1}$，这样就完成我们的转移了。
后面的转移方程式都可以用类似的方法优化，这里就不多阐释了。

容易发现我们上面的转移复杂度的分析是套用树形$dp$的分析方法的，每个点在每个$lca$处转移时的深度都是它另一子树的深度。
总时间复杂度显然是$O\left(n^2\right)$的。

源码

然而有点冗杂。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 5005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
const LL INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s<'0'||s>'9'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,val[MAXN],fp[MAXN],mxd[MAXN],ch[MAXN][2],deg[MAXN];
int sta[MAXN][MAXN],stak[MAXN];
LL f[MAXN],g[MAXN],h[MAXN],dp[MAXN][MAXN],tmp[MAXN][MAXN];
LL F[MAXN],Gf[MAXN],Gg[MAXN],ans;
void sakura(int rt){
	sta[rt][++stak[rt]]=rt;int ls=ch[rt][0],rs=ch[rt][1];
	if(!deg[rt]){dp[rt][0]=mxd[rt]=0;return ;}
	if(ls)sakura(ls),h[rt]=max(h[rt],h[ls]+1);
	if(rs)sakura(rs),h[rt]=max(h[rt],h[rs]+1);
	for(int j=0;j<=n;j++)dp[rt][j]=INF;
	if(deg[rt]==1){
		for(int i=1;i<=stak[ls];i++){
			int x=sta[ls][i];mxd[rt]=max(mxd[rt],mxd[x]+1);
			for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
				tmp[x][j]=dp[x][j],dp[x][j]=INF;
			for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
				dp[rt][j+1]=min(dp[rt][j+1],tmp[x][j]+val[x]),
				dp[x][0]=min(dp[x][0],tmp[x][j]+1ll*(j+1)*val[rt]+val[x]);
			sta[rt][++stak[rt]]=x;mxd[x]=0;
		}
		return ;
	}
	for(int i=0;i<=h[ls];i++)f[i]=Gf[i]=INF;
	for(int i=0;i<=h[rs];i++)g[i]=Gg[i]=INF;
	for(int i=1;i<=stak[ls];i++){
		int x=sta[ls][i];sta[rt][++stak[rt]]=x;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			f[j]=min(f[j],val[x]+(tmp[x][j]=dp[x][j])),dp[x][j]=INF;
	}
	for(int i=1;i<=stak[rs];i++){
		int x=sta[rs][i];sta[rt][++stak[rt]]=x;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			g[j]=min(g[j],val[x]+(tmp[x][j]=dp[x][j])),dp[x][j]=INF;
	}
	for(int i=1;i<=stak[ls];i++){
		int x=sta[ls][i];LL minn=F[x]=INF,mn=INF;
		for(int j=0;j<=h[rs];j++)
			minn=min(minn,g[j]+1ll*val[x]*(j+2));
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			dp[rt][j+1]=min(dp[rt][j+1],minn+tmp[x][j]),
			mn=min(mn,tmp[x][j]+1ll*(j+1)*val[rt]);
		minn=INF;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			minn=min(minn,tmp[x][j]+1ll*val[rt]*(j+1));
		for(int j=0;j<=h[rs];j++)
			dp[x][j+1]=min(dp[x][j+1],minn+g[j]+val[x]),
			Gg[j]=min(Gg[j],1ll*(j+2)*val[x]+mn);
	}
	for(int i=1;i<=stak[rs];i++){
		int x=sta[rs][i];LL minn=INF,mn=INF;
		for(int j=0;j<=h[ls];j++)
			minn=min(minn,f[j]+1ll*val[x]*(j+2));
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			dp[rt][j+1]=min(dp[rt][j+1],minn+tmp[x][j]),
			mn=min(mn,tmp[x][j]+1ll*(j+1)*val[rt]);
		minn=INF;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)
			minn=min(minn,tmp[x][j]+1ll*val[rt]*(j+1));
		for(int j=0;j<=h[ls];j++)
			dp[x][j+1]=min(dp[x][j+1],minn+f[j]+val[x]),
			Gf[j]=min(Gf[j],1ll*(j+2)*val[x]+mn);
	}
	for(int i=1;i<=stak[ls];i++){
		int x=sta[ls][i];LL minn=INF;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)minn=min(minn,tmp[x][j]+Gf[j]),tmp[x][j]=INF;
		dp[x][0]=min(dp[x][0],minn+val[x]);mxd[x]=h[rs]+1;
	}
	for(int i=1;i<=stak[rs];i++){
		int x=sta[rs][i];LL minn=INF;
		for(int j=0;j<=mxd[x];j++)minn=min(minn,tmp[x][j]+Gg[j]),tmp[x][j]=INF;
		dp[x][0]=min(dp[x][0],minn+val[x]);mxd[x]=h[ls]+1;
	}
	mxd[rt]=h[rt];
}
int main(){
	read(n);ans=INF;
	for(int i=1;i<=n;i++)read(val[i]);
	for(int i=2,x;i<=n;i++)
		read(x),ch[x][deg[x]++]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=n;j++)
			tmp[i][j]=dp[i][j]=INF;
	sakura(1);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=min(ans,dp[i][0]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

谢谢！！！