[BZOJ1042]HAOI2008硬币购物|DP|容斥原理

最新推荐文章于 2019-02-09 12:23:43 发布

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本文介绍了一种解决硬币组合问题的有效算法。通过预处理所有可能的硬币组合，并运用容斥原理，实现了快速求解特定条件下硬币组合数量的目标。算法采用递归方式计算，时间复杂度低。

数学题太难了，哭瞎。。先预处理出f[i]为不设限制时i可能的组成方法，F[i]=Sum{F[i-C[k]] | i-C[k]>=0 且 k=1..4}，为避免方案重复，要以k为阶段递推，边界条件为F[0]=1，这样预处理的时间复杂度就是O(S)。接下来对于每次询问，奇妙的解法如下：根据容斥原理，答案为得到面值S的超过限制的方案数 - 第1种硬币超过限制的方案数 - 第2种硬币超过限制的方案数 - 第3种硬币超过限制的方案数 - 第4种硬币超过限制的方案数 + 第1,2种硬币同时超过限制的方案数 + 第1,3种硬币同时超过限制的方案数 + ...... + 第1,2,3,4种硬币全部同时超过限制的方案数。当第1种硬币超过限制时，只要要用到D[1]+1枚硬币，剩余的硬币可以任意分配，所以方案数为 F[ S - (D[1]+1)C[1] ]，当且仅当(S - (D[1]+1)C[1])>=0，否则方案数为0。其余情况类似，每次询问只用问16次，所以询问的时间复杂度为O(1)。By BYvoid。。容斥部分可以dfs搞定。

<pre name="code" class="cpp">#include<cstdio>
#include<iostream>
#define N 100005
#define ll long long
using namespace std;
int T,s,i,j,c[5],d[5];
ll ans,f[N];
void dfs(int x,int k,int sum)
{
  if (sum<0) return;
  if (x>4)
	{
	  ans+=k*f[sum];
	  return;
	}
  dfs(x+1,k,sum);
  dfs(x+1,-k,sum-(d[x]+1)*c[x]);
}
int main()
{
  for (i=1;i<=4;i++) scanf("%d",&c[i]);
  scanf("%d",&T);
  f[0]=1;
  for (j=1;j<=4;j++)
	for (i=c[j];i<=100000;i++)
	  f[i]+=f[i-c[j]];
  while (T--)
	{
	  for (i=1;i<=4;i++) scanf("%d",&d[i]);
	  scanf("%d",&s);
	  ans=0ll;
	  dfs(1,1,s);
	  printf("%lld\n",ans);
	}
}