FFT多项式乘法学习笔记

  其实我不知道我是否真的理解了FFT，但是我会用FFT优化多项式乘法了QAQ。。
（以下大多摘自算导
前置知识
1. 多项式
  在一个代数域F上，关于变量x的多项式定义为形式和形式表示的函数

$$A(x)=\sum_{j=0}^{n-1}a_jx^j，其中a0…an-1为多项式各项的系数$$
2. 多项式的次数界
  若多项式有非零系数的最高次项为$x^k$，则称k为该多项式的次数，任何严格大于k的整数都是这个多项式的次数界。
3. 多项式的表示
（1）系数表示法
  对于一个次数界为n的多项式A（x）来说，其系数表示法可以看做是一个列向量$a=（a_0，a_1，…，a_{n-1}）$。系数表示法对于某些多项式的计算很方便，如对多项式A（x）在给定点$x_0$的求值运算就是计算A（x0）的值。如果使用霍纳法则，则求值运算的运行时间为$O（n）$，
$$A（x_0）=a_0+x_0(a_1+x_0(a_2+...+x_0(a_{n-2}+x_0(a_{n-1}))...))$$
  另外，加法运算的时间复杂度是$O（n）$，暴力进行乘法运算的时间复杂度是$O（n^2）$。
（2）点值表示法
   有n个点${（x_0，A（x_0），），（x_1，A（x_1）），..，（x_{n-1}，A（n-1））}$，当所有$x_k$各不相同时，这n个点可以唯一表示一个次数界为n的多项式，但是一个次数界为n的多项式可以有多个点值表示。通俗一点说，已知一个多项式函数的n个函数值可以唯一确定这个函数，而知道这个函数可以知道不止n个函数值。
  已知点值表示求系数表示称为插值，用拉格朗日插值法可以做到$O（n^2）$。
  若次数界为n的多项式A（x），B（x）的n个点的$x_k$是对应相同的，点值表示法的加法操作时间复杂度是O（n），只要把对应A/B（$x_k$）相加即可，若A（x），B（x）都已知$2n$个点，那把A/B（$x_k$）相乘同样可以在$O（n）$时间内完成乘法运算。。

进入正题。。
1. 单位复根
  n次单位复根是满足