[NOIP2003]加分二叉树【动态规划】

【问题描述】

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分×subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空

子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

 

【输入格式】

第1行：一个整数n（n＜30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数＜100）。

 

【输出格式】

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

 

解题思路：这题我觉得归为区间DP比较合适。。由于给出的是中序遍历，所以设遍历中的第i个为根，则有第1到i-1为左子树的中序遍历，第i+1到n为右子树的中序遍历，这样就找到了最优子结构的性质，对于每一个中序遍历我们只需要枚举它的根即可。设f[i][j]为i到j作为中序遍历时的最大得分，则可以得到状态转移方程f[i][j]=max(f[i][k-1]*f[k+1][j])+point[k]，i<=k<=j。

代码（很久以前写的，略丑）：

programpointtree(input,output);
var f:array[0..35,0..35]of longint;
a:array[0..35]of longint;
n,i,j,k,max:longint;
procedure findmax(s,e:longint);
var i,k,max:longint;
begin
max:=0;k:=-1;
for i:=s to e do
 if f[s,i-1]*f[i+1,e]+a[i]>max then beginmax:=f[s,i-1]*f[i+1,e]+a[i];k:=i;end;
if k<>-1 then
 begin
  write(k,' ');
  findmax(s,k-1);
  findmax(k+1,e);
 end;
end;
begin
assign(input,'pointtree.in');
reset(input);
readln(n);
filldword(f,sizeof(f)div 4,1);
for i:=1 to n do
 begin
  read(a[i]);
  f[i,i]:=a[i];
  f[i-1,i]:=a[i-1]+a[i];
 end;
for i:=3 to n-1 do
 for j:=1 to n do
  for k:=j to j+i-1 do
   iff[j,k-1]*f[k+1,j+i-1]+a[k]>f[j,j+i-1] thenf[j,j+i-1]:=f[j,k-1]*f[k+1,j+i-1]+a[k];
max:=0;
for i:=1 to n do
 if f[1,i-1]*f[i+1,n]+a[i]>max thenmax:=f[1,i-1]*f[i+1,n]+a[i];
writeln(max);
findmax(1,n);
close(input);
end.