伯恩斯坦多项式(Bernstein Polynomials)

多项式是非常有用的数学工具，因为它们定义简单，可以在计算机系统上快速计算，并代表各种函数。多项式可以很容易进行微分和积分，并且可以拼接在一起形成样条曲线，该曲线可以逼近任何函数，达到所需的任何精度。我们在小学四年级就已经学过多项式的相关知识，让我们来回顾一下
$$p(t)=a_n{t}^n+a_{n-1}{t}^{n-1}+\cdots +a_{1}t+a_0\text{\hspace{1em}(1)}$$
上式表示某些初等多项式的{1,t,t2,…,tn}\{1,t,t^2,\dots,t^n\}{1,t,t2,…,tn}的线性组合。

通常来说，次数小于$n$的多项式函数都可以写成式(1)这种形式，原因很简单

• 次数小于或等于$n$的一组多项式构成一个向量空间：多项式可以相加，可以乘以一个标量，且所有向量空间的性质都保持不变。
• {1,t,t2,…,tn}\{1,t,t^2,\dots,t^n\}{1,t,t2,…,tn}这组函数可以作为此向量空间的基，也就是说，任何次数小于或等于$n$的多项式都可以被这组基唯一的线性表示出来。

这组基通常称为幂基(power basis)，其只是多项式空间无穷多个基中其中的一个。

下面我们开始讨论多项式空间中的另一种常用的基——伯恩斯坦基(Bernstein basis)，并讨论其性质。

伯恩斯坦多项式(Bernstein Polynomials)

$n$次伯恩斯坦多项式定义为
$$B_{i,n}(t)=\left(\begin{array}{l}n\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n-i}\text{\hspace{1em}(2)}$$
$i=0,1,\cdots ,n$，其中
$$\left(\begin{array}{l}n\\ i\end{array}\right)=\frac{n!}{i!(n-i)!}$$
从定义我们可以看出，共有$n+1$个$n$次的伯恩斯坦多项式。为了方便，当$i<0$或$i>n$时，我们令$B_{i,n}=0$

• 一次的伯恩斯坦多项式为
  $$\begin{array}{l}{B}_{0,1}(t)=1-t\\ B_{1,1}(t)=t\end{array}$$
  当$0\le t\le 1$时，我们可以画出其图像

  

• 二次伯恩斯坦多项式为
  $$\begin{array}{l}{B}_{0,2}(t)=(1-t{)}^2\\ B_{1,2}(t)=2t(1-t)\\ B_{2,2}(t)=t^2\end{array}$$
  当$0\le t\le 1$时，我们可以画出其图像

  

• 三次伯恩斯坦多项式为
  $$\begin{array}{l}{B}_{0,3}(t)=(1-t{)}^3\\ B_{1,3}(t)=3t(1-t{)}^2\\ B_{2,3}(t)=3t^2(1-t)\\ B_{3,3}(t)=t^3\end{array}$$
  当$0\le t\le 1$时，我们可以画出其图像

  

伯恩斯坦多项式的递归定义

$n$阶伯恩斯坦多项式可以定义为两个$n-1$阶伯恩斯坦多项式的混合。也就是说第$k$个$n$阶伯恩斯坦多项式可以写成
$$B_{k,n}(t)=(1-t)B_{k,n-1}(t)+t{B}_{k-1,n-1}(t)\text{\hspace{1em}(3)}$$
为了证明式(3)成了，我们只需用到伯恩斯坦多项式的定义和一些简单的代数：
$$\begin{array}{rl}(1-t)B_{k,n-1}(t)+t{B}_{k-1,n-1}(t)& =(1-t)\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)t^k(1-t{)}^{n-1-k}+t\left(\begin{array}{l}n-1\\ k-1\end{array}\right)t^{k-1}(1-t{)}^{n-1-(k-1)}\\ & =\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)t^k(1-t{)}^{n-k}+\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)t^k(1-t{)}^{n-k}\\ & =\left[\left(\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n-1\\ k-1\end{array}\right)\right]t^k(1-t{)}^{n-k}\\ & =\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)t^k(1-t{)}^{n-k}\\ & =B_{k,n}(t)\end{array}$$

伯恩斯坦多项式是非负的

如果一个函数$f(t)$在区间$[a,b]$上满足$f(t)\ge 0$，则这个函数就是非负的。每一个$n$次的伯恩斯坦多项式在区间$[0,1]$上都是非负的。我们可以通过递归定义来证明此性质。

很容易，我们可以知道一次伯恩斯坦多项式$B_{0,1}(t)=1-t$和$B_{1,1}(t)=t$在$0\le t\le 1$上是非负的。我们假设所有不大于$k$次的伯恩斯坦多项式都是非负的，则我们使用递归定义
$$B_{i,k}(t)=(1-t)B_{i,k-1}(t)+t{B}_{i-1,k-1}(t)$$
由于等式右边所有的项在$0\le t\le 1$上都是非负的，则我们可以认为$B_{i,k}(t)$在$0\le t\le 1$上也是非负的。通过数学归纳法，我们就可以证明所有的伯恩斯坦多项式在$0\le t\le 1$上是非负的。

伯恩斯坦多项式拥有单位剖分性

如果一组函数，当自变量取值为$t$时相加等于1，则称该组函数具有单位剖分性。$k+1$个$k$次多项式具有单位剖分性质，因为他们相加等于1.

对于任意的$k$，$k+1$个$k$次伯恩斯坦多项式的在$t$处的和等于$k$个$k-1$次伯恩斯坦多项式的在$t$处的和，即
$$\sum _{i=0}^k{B}_{i,k}(t)=\sum _{i=0}^{k-1}{B}_{i,k-1}(t)$$
单位划分的性质在几何建模和计算机图形学上非常的重要。特别的，对于三维空间中任何一组点$P_0,P_1,\cdots ,P_n$对于任意的$t$，表达式
$$P(t)=P_0{B}_{0,n}(t)+P_1{B}_{1,n}(t)+\cdots +P_n{B}_{n,n}(t)$$
是这组点的仿射组合，且如果$0\le t\le 1$则它是这组点的凸组合。

升阶

任意一个低阶的伯恩斯坦多项式(次数$<n$)都可以表达成$n$次伯恩斯坦多项式的线性组合。特别的，$n-1$次伯恩斯坦多项式可以写成$n$次伯恩斯坦多项式的线性组合。首先我们注意到
$$\begin{array}{rl}t{B}_{i,n}(t)& =\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)t^{i+1}(1-t{)}^{n-i}\\ & =\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)t^{i+1}(1-t{)}^{(n+1)-(i+1)}\\ & =\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}n+1\\ i+i\end{array}\right)}{B}_{i+1,n+1}(t)\\ & =\frac{i+1}{n+1}{B}_{i+1,n+1}(t)\end{array}$$
且
$$\begin{array}{rl}(1-t)B_{i,n}(t)& =\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)t^i(1-t{)}^{n+1-i}\\ & =\frac{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}n+1\\ i\end{array}\right)}{B}_{i,n+1}(t)\\ & =\frac{n-i+1}{n+1}{B}_{i,n+1}(t)\end{array}$$
最后
$$\begin{array}{rl}\frac{1}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{B}_{i,n}(t)+\frac{1}{\left(\begin{array}{c}n\\ i+1\end{array}\right)}{B}_{i+1,n}(t)& =t^i(1-t{)}^{n-i}+t^{i+1}(1-t{)}^{n-(i+1)}\\ & =t^i(1-t{)}^{n-i-1}((1-t)+t)\\ & =t^i(1-t{)}^{n-i-1}\\ & =\frac{1}{\left(\begin{array}{c}n-1\\ i\end{array}\right)}{B}_{i,n-1}(t)\end{array}$$
使用最后这个公式，我们就可以根据高阶的伯恩斯坦多项式写出任意的伯恩斯坦多项式，即
$$\begin{array}{rl}{B}_{i,n-1}(t)& =\left(\begin{array}{c}n-1\\ i\end{array}\right)\left[\frac{1}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}{B}_{i,n}(t)+\frac{1}{\left(\begin{array}{c}n\\ i+1\end{array}\right)}{B}_{i+1,n}(t)\right]\\ & =\left(\frac{n-i}{n}\right)B_{i,n}(t)+\left(\frac{i+1}{n}\right)B_{i+1,n}(t)\end{array}$$
这说明了$n-1$次的伯恩斯坦多项式可以有$n$次的伯恩斯坦多项式线性组合表示。于是我们可以说任何$k$次(小于$n$)的伯恩斯坦多项式都可以写成$n$次伯恩斯坦多项式的线性组合。例如，$n-2$次的伯恩斯坦多项式可以表示为两个$n-1$次伯恩斯坦多项式的线性组合，而每个$n-1$次的伯恩斯坦多项式，又可以表示为两个$n$次伯恩斯坦多项式的线性组合，依此类推。

伯恩斯坦多项式基与幂基的转换

由于幂基{1,t,t2,⋯ ,tn}\{1,t,t^2,\cdots,t^n\}{1,t,t2,⋯,tn}构成了次数小于或等于$n$的多项式空间的基，所以任何一个$n$次伯恩斯坦多项式都可以用幂基表示。我们可以通过伯恩斯坦多项式的定义和二项式定理得到
$$\begin{array}{rl}{B}_{k,n}(t)& =\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)t^k(1-t{)}^{n-k}\\ & =\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)t^k\sum _{i=0}^{n-k}(-1{)}^i\left(\begin{array}{c}n-k\\ i\end{array}\right)t^i\\ & =\sum _{i=0}^{n-k}(-1{)}^i\left(\begin{array}{l}n\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-k\\ i\end{array}\right)t^{i+k}\\ & =\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}n-k\\ i-k\end{array}\right)t^i\\ & =\sum _{i=k}^n(-1{)}^{i-k}\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}i\\ k\end{array}\right)t^i\end{array}$$
其中，我们使用了二项式定理对$(1-t{)}^{n-k}$进行展开。

对于幂基转换成伯恩斯坦基，我们可以使用升阶公式
$$\begin{array}{rl}{t}^k& =t\left(t^{k-1}\right)\\ & =t\sum _{i=k-1}^n\frac{\left(\begin{array}{c}i\\ k-1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}n\\ k-1\end{array}\right)}{B}_{i,n-1}(t)\\ & =\sum _{i=k}^n\frac{\left(\begin{array}{c}i-1\\ k-1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right)}t{B}_{i-1,n-1}(t)\\ & =\sum _{i=k-1}^{n-1}\frac{\left(\begin{array}{c}i\\ k-1\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}n\\ k-1\end{array}\right)}\frac{i}{n}{B}_{i,n}(t)\\ & =\sum _{i=k-1}^{n-1}\frac{\left(\begin{array}{l}i\\ k\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)}{B}_{i,n}(t)\end{array}$$
在第二步中我们使用了归纳假设。

伯恩斯坦多项式的矩阵表达

在许多应用场景中，使用矩阵形式的伯恩斯坦多项式是方便的。我们写出一个由伯恩斯坦基函数线性组合得到的多项式
$$B(t)=c_0{B}_{0,n}(t)+c_1{B}_{1,n}(t)+\cdots +c_n{B}_{n,n}(t)$$
我们很容易的将上式写成两个向量点乘的形式
$$B(t)=\left[\begin{array}{llll}{B}_{0,n}(t)& B_{1,n}(t)& \cdots & B_{n,n}(t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$$
进一步，可以写出
$$B(t)=\left[\begin{array}{llllc}1& t& t^2& \cdots & t^n\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccccc}{b}_{0,0}& 0& 0& \cdots & 0\\ b_{1,0}& b_{1,1}& 0& \cdots & 0\\ b_{2,0}& b_{2,1}& b_{2,2}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{n,0}& b_{n,1}& b_{n,2}& \cdots & b_{n,n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]$$
其中$b_{i,j}$是用于确定相应伯恩斯坦多项式的幂基系数。可以看出，该矩阵是一个下三角矩阵。

对于二次多项式($n=2$)的情况，矩阵表示为
$$B(t)=\left[\begin{array}{lll}1& t& t^2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 2& 0\\ 1& -2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\end{array}\right]$$
对于三次($n=3$)的情况，矩阵表示为
$$B(t)=\left[\begin{array}{llll}1& t& t^2& t^3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ -3& 3& 0& 0\\ 3& -6& 3& 0\\ -1& 3& -3& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]$$