非均匀有理B-样条(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)基础知识

B样条是无理的，组成无理B样条曲线或曲面。有理曲线或曲面可以精确地表示圆锥截面。非均匀有理B样条(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)就是为了表达更精确的曲面引入的，其控制顶点包含权重。NURBS的基函数与B样条不同，但结点向量、张量积的性质和细分规则是不变的。

1 几何角度

在${\mathbb{R}}^d$空间的NURBS实体通过在${\mathbb{R}}^{d+1}$空间的B样条实体投影得到，其中$d$是维数。图1说明了一个在${\mathbb{R}}^2$空间的半圆$C(\xi )$是如何通过在${\mathbb{R}}^3$空间的二次B样条曲线$C^w(\xi )$得到的。

控制顶点${\mathbf{P}}_i$的表示如下
$$({\mathbf{P}}_i{)}_j=\frac{({\mathbf{P}}_i^w{)}_j}{w_i}j=1,\dots ,d\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$w_i=({\mathbf{P}}_i^w{)}_{d+1}$而${\mathbf{P}}_i^w$是“投影控制顶点”。权重$w_i$在几何上是“投影控制顶点”的“高”，见图1。也就是说${\mathbb{R}}^d$维的NURBS实体中的控制顶点，是维的B样条控制顶点前几维分量除以最后一维分量得到的。

图1     B样条曲线投影到z=1平面，得到NURBS半圆

从几何上来讲，在NURBS中进行结点插入首先要将NURBS中的控制顶点投影到${\mathbb{R}}^{d+1}$维空间，之后使用B样条结点插入公式计算插入后的控制顶点，最后再将其投影到${\mathbb{R}}^d$维空间得到新的NURBS控制顶点。

2 代数角度

NURBS曲线的基函数表示为
$$R_i^p(\xi )=\frac{N_{i,p}(\xi )w_i}{W(\xi )}=\frac{N_{i,p}(\xi )w_i}{{\sum }_{\hat{i}=1}^n{N}_{\hat{i},p}(\xi )w_i}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$W(\xi )={\sum }_{\hat{i}=1}^n{N}_{\hat{i},p}(\xi )w_{\hat{i}}$是权重函数，$N_{i,p}(\xi )w_i$是B样条基函数。

定义权重的对角矩阵
$$\mathbf{W}=\left[\begin{array}{llll}{w}_1& & & \\ & w_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & w_n\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
记$\mathbf{N}(\xi )$是表示B样条基函数的列向量，则式(2)可以写成矩阵形式
$$\mathbf{R}(\xi )=\frac{1}{W(\xi )}\mathbf{W}\mathbf{N}(\xi )\text{\hspace{1em}(4)}$$
NURBS曲面的基函数可以表示为
$$R_{i,j}^{p,q}(\xi ,\eta )=\frac{N_{i,p}(\xi )M_{i,p}(\xi )w_{i,j}}{{\sum }_{\hat{i}=1}^n{\sum }_{\hat{j}=1}^m{N}_{\hat{i},p}(\xi )M_{\hat{j},q}(\xi )w_i}=\frac{1}{W(\xi ,\eta )}\mathbf{W}\mathbf{N}(\xi ,\eta )\text{\hspace{1em}(5)}$$
NURBS基函数与B样条基函数有相同的性质。

NURBS基函数的一阶导数
$$\frac{d}{d\xi }{R}_i^p(\xi )=w_i\frac{W(\xi )N_{i,p}^{\prime }(\xi )-W^{\prime }(\xi )N_{i,p}(\xi )}{W^2(\xi )}\text{\hspace{1em}(6)}$$
其中$N_{i,p}^{\prime }(\xi )=\frac{d}{d\xi }{N}_{i,p}(\xi )$，$W^{\prime }(\xi )={\sum }_{\hat{i}=1}^n{N}_{\hat{i},p}^{\prime }(\xi )w_{\hat{i}}$

在NURBS基函数确定之后，NURBS曲面便可以使用与B样条曲面类似的形式表示
$$\mathbf{C}(\xi )=\sum _{i=1}^n{R}_i^p(\xi ){\mathbf{P}}_i\text{\hspace{1em}(7)}$$
NURBS曲面
$$\mathbf{S}(\xi ,\eta )=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m{R}_{i,j}^{p,q}(\xi ,\eta ){\mathbf{P}}_{i,j}\text{\hspace{1em}(8)}$$

3 一些例子

这里，我们将画一个半圆。我们使用二次NURBS基函数，控制顶点和权重如下
$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ll}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\\ x_3& y_3\\ x_4& y_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-1& 0\\ -1& 1\\ 1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]and\mathbf{w}=\left[\begin{array}{l}{w}_1\\ w_2\\ w_3\\ w_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1\\ 1/2\\ 1/2\\ 1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
假设NURBS基函数和曲线在点$\xi =3/2$求值，则根据B样条基函数的表达式可以算出

再根据式(2)计算出权函数在$\xi =3/2$时的值为
$$W(\xi =\frac{3}{2})=\sum _{i=1}^4{N}_{i,2}(\xi =\frac{3}{2})w_i=0\cdot 1+\frac{1}{8}\cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}\cdot 1=\frac{5}{8}\text{\hspace{1em}(10)}$$
于是，可以得到NURBS基函数在$\xi =3/2$处的值

当计算足够多个$\xi$的值时，就可以画出NURBS基函数的图像，如图2所示

图2     NURBS和B样条基函数，结点向量为{0,0,0,1,2,2,2}

可以看出，权重$w_2,w_3$不仅仅影响基函数$R_2^2,R_3^2$也影响$R_1^2,R_4^2$

之后我们就可以使用给定的节点向量计算NURBS曲线上的点

作为比较，B样条曲线在同样的参数域的坐标计算结果如下

当计算足够多$\xi$的值之后，就可以画出NURBS曲线和B样条曲线的图像。由于B样条曲线不包含权重（所有权重为1），所以控制点(−1，1)和(1，1)的比例会变得很大，使圆弧呈方形。

图3     使用NURBS构造的半圆和B样条构造的180度弧

注意，这里使用4个控制顶点构造的半圆在顶点$(0,1)$处有$C^1$连续性。使用结点向量Ξ={0,0,0,1,1,2,2,2}\Xi=\{0,0,0,1,1,2,2,2\}Ξ={0,0,0,1,1,2,2,2}，5个基函数和控制顶点，构造的半圆拥有$C^0$连续性。在图1中的半圆就是使用上述的节点向量构造的，其$C^0$连续性可以在与其对应的B样条中看出。