本文探讨了直线与平面方程的几何表示，包括通过法向量、面积和向量叉乘来求解直线方程。还介绍了如何利用这些方法推广到平面方程，特别是强调了在计算面积和确定法向量时的关键步骤。
直线与平面方程的几何表达
法向量求法
已知直线AB与坐标轴交于A，B两点，OA长为a, OB长为b，求AB的方程.
直线的特征是其上的点与直线法向量的点乘是固定的
E的坐标为 (a,b) 显然OE是直线的一法向量
ax+by=h⃗⋅OE⃗=∣h⃗∣⋅∣OE⃗∣=∣h⃗∣⋅∣AB⃗∣=2SOAB=ab ax + by = \vec{h} \cdot \vec {OE} = |\vec{h}| \cdot |\vec {OE}| = |\vec{h}| \cdot |\vec {AB}| = 2 S_{OAB} = ab ax+by=h⋅OE=∣h∣⋅∣OE∣=∣h∣⋅∣AB∣=2SOAB=ab
所以
ax+by=ab ax + by = ab ax+by=ab
面积求法
C是直线AB上的点，于是有
SOAC+SOCB=SOABS_{OAC} + S_{OCB} = S_{OAB}SOAC+S
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