【bzoj 1044】木棍分割【HAOI2008】

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本文介绍了一种通过二分查找和动态规划解决的算法问题，旨在寻找将一系列长度不等的木棍切割成多段时，如何使得其中最长一段的长度最小，并计算达到此最优解的不同切割方式的数量。

Description

　　有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连
接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长
度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

Input

　　输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,10
00),1<=Li<=1000.

Output

　　输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

Sample Input

3 2
1
1
10

Sample Output

10 2

HINT

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

这道题第一问显然二分答案，第二问DP，设 $f[i][j]$ 表示到第 $i$ 段砍 $j$ 次的方案数，则 $f[i][j]=\sum f[k][j-1](sum[i]-sum[k]\leqslant len)$ ，但这样时间复杂度为 $O(n^2m)$ 会TLE，所以考虑一个性质：对于任意 $i_1<i_2$ 都有 $k_1<k_2$ ，即 $k$ 具有单调性，所以每次 $k$ 从上一次的位置直接向后扫到 $sum[i]-sum[k]\leqslant len$ ，这样时间复杂度就降到了 $O(nm)$ ，下面是程序：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=50005,INF=0x7fffffff,mod=10007;
int n,m,a[N],f[N][2],sum[N];
bool check(int &k){
	int i,s=0,last=0;
	for(i=1;i<=n;i++){
		if(sum[i]-sum[last]>k){
			++s;
			last=i-1;
		}
	}
	return s>m;
}
int main(){
	int i,j,l=1,r=0,mid,len,ans=0,sf;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		l=max(l,a[i]);
		r+=a[i];
		sum[i]=sum[i-1]+a[i];
	}
	while(l<=r){
		mid=l+r>>1;
		if(check(mid)){
			l=mid+1;
		}
		else{
			r=mid-1;
		}
	}
	printf("%d ",len=l);
	for(i=1;i<=n&&sum[i]<=len;i++){
		f[i][0]=1;
	}
	for(j=1;j<=m;j++){
		l=1;
		sf=f[1][(j-1)&1];
		for(i=2;i<=n;i++){
			while(l<i&&sum[i]-sum[l]>len){
				sf-=f[l][(j-1)&1];
				sf%=mod;
				++l;
			}
			f[i][j&1]=(sf+mod)%mod;
			sf+=f[i][(j-1)&1];
			sf%=mod;
		}
		ans+=f[n][j&1];
		ans%=mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}