题解【luogu P1541 NOIp提高组2010 乌龟棋】

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#动态规划

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本文介绍了一个涉及卡片使用限制的动态规划问题。问题要求通过使用不同数量的卡片在格子上前进并获取最大分数。文章详细解释了如何设置状态转移方程以解决此问题，并提供了完整的代码实现。

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题解

题意：
有一些格子，每个格子有一定分数。
给你四种卡片，每次可以使用卡片来前进1或2或3或4个格子并拾取格子上的分数
每张卡片有数量限制。求最大分数。

分析
设 $dp[i]$ 为第前 $i$ 个格子所能得到的最大分数
显然有一个简单的转移方程
$dp[i] = \max(dp[i-1] ,dp[i-2],dp[i-3],dp[i-4])$
等等，，卡片有数量限制！所以上面的方程就不行了
换一个思路，既然它有限制，就以毒攻毒设 $dp[i][j][k][l]$ 为用了 $i$ 张卡片1， $j$ 张卡片2 ${...}$ $l$ 张卡片4
设 $Go$ 为现在在第几个格子。则 $Go=1+i*1+j*2+k*3+l*4$ 则转移方程为

d p [i] [j] [k] [l] = max (d p [i] [j] [k] [l], d p [i - 1] [j] [k] [l] + m a r k [G o], d p [i] [j - 1] [k] [l] + m a r k [G o], . . ., d p [i] [j] [k] [l - 1] + m a r k [G o])

$dp[i][j][k][l] = \max( dp[i][j][k][l], dp[i-1][j][k][l]+mark[Go], dp[i][j-1][k][l]+mark[Go], {...},dp[i][j][k][l-1]+mark[Go])$
实现简单

注意
$dp[i-1][j][k][l]$ 中的 $i-1$ 在 $i=0$ 是会溢出，需要特判

代码

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int MAXN = 400;
const int MAXM = 150;
int n, m;
int mark[MAXN], card[MAXM];
int dp[45][45][45][45];
int card_sum[5];


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &mark[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &card[i]), card_sum[card[i]]++;
    dp[0][0][0][0] = mark[1];
    for(int i = 0; i <= card_sum[1]; i++) 
        for(int j = 0; j <= card_sum[2]; j++) 
            for(int k = 0; k <= card_sum[3]; k++) 
                for(int l = 0; l <= card_sum[4]; l++) 
                {
                    int Go = 1 + i + j * 2 + k * 3 + l * 4;
                    if(i) dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j][k][l], dp[i - 1][j][k][l] + mark[Go]);
                    if(j) dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j][k][l], dp[i][j - 1][k][l] + mark[Go]);
                    if(k) dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j][k][l], dp[i][j][k - 1][l] + mark[Go]);
                    if(l) dp[i][j][k][l] = max(dp[i][j][k][l], dp[i][j][k][l - 1] + mark[Go]);
                }
    printf("%d\n", dp[card_sum[1]][card_sum[2]][card_sum[3]][card_sum[4]]);
    return 0;
}