洛谷P1090 [NOIP 2004 提高组] 合并果子 题解

P1090 NOIP 2004 提高组 合并果子 题解

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题目大意

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现在有 $n$ 堆果子，每堆果子的重量为 $a_i$，你要进行 $n-1$ 次合并。每次合并会把两堆果子合并成一堆果子，合并需要花费的体力为这两堆果子的重量之和，合并后果子的重量也为这两堆果子的重量之和。现在让你求出 $n-1$ 次合并花费的最小总体力。

思路

贪心思路

首先，很容易想到一个贪心：每次取重量最小的两堆果子，再取合并后重量最小的两堆果子，直到只有一堆果子为止。

证明过程

现在就要证明这个贪心，这里不妨先证明小范围贪心正确，再证明推导到大范围正确，就可以证明这个贪心正确。

step 1: 证明小范围贪心正确

假设现在只有 3 堆果子，果子的数量分别为 $a,b,c$，假设 $a\le b\le c$（$a,b,c$ 的顺序与答案无关），现在开始需要先取 $a,b$ 一定是最优的。

第一种情况：先取 $a,b$，最终答案为 $(a+b)+(a+b+c)=2a$