直接积分列题

直接积分的二重积分题
题目：

计算二重积分 $\int {\int }_{D}xydA$，其中区域D是由曲线 $y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=x$ 以及 $x=1$ 所围成的闭区域。

解题步骤：

1. 确定积分区域D：
   首先，我们需要找出曲线 $y=\sqrt{x}$ 和直线 $y=x$ 的交点。解方程 $\sqrt{x}=x$ 得到 $x=0$ 或 $x=1$。由于 $x$ 不能为负数且 $x=0$ 不在闭区域内，所以交点为 $x=1$。因此，区域D的边界是 $x=0,x=1,y=\sqrt{x},y=x$。

2. 绘制区域D：
   绘制这四个边界线，可以看出区域D是一个上边界为直线 $y=x$，下边界为曲线 $y=\sqrt{x}$，左右边界分别为 $x=0$ 和 $x=1$ 的封闭区域。

3. 设置二重积分：
   由于区域D在 $x$ 轴上的投影是一个闭区间 $[0,1]$，而在每一个 $x$ 值上，$y$ 的取值范围是 $[\sqrt{x},x]$，因此二重积分可以表示为：

   $$\int {\int }_{D}xydA={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt{x}}^{x}xydy\right)dx$$

4. 计算内层积分：
   首先计算内层关于 $y$ 的定积分：

   $${\int }_{\sqrt{x}}^{x}xydy={\left[\frac{1}{2}x{y}^2\right]}_{\sqrt{x}}^x=\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^{2.5}$$

5. 计算外层积分：
   接着计算外层关于 $x$ 的定积分：

   $${\int }_0^1\left(\frac{1}{2}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^{2.5}\right)dx={\left[\frac{1}{8}{x}^4-\frac{1}{10}{x}^{3.5}\right]}_0^1$$

6. 计算定积分的值：
   最后，计算上述定积分的值：

   $$=\frac{1}{8}\times 1^4-\frac{1}{10}\times 1^{3.5}-\left(\frac{1}{8}\times 0^4-\frac{1}{10}\times 0^{3.5}\right)$$
   $$=\frac{1}{8}-\frac{1}{10}$$
   $$=\frac{1}{40}$$

故二重积分 $\int {\int }_{D}xydA=\frac{1}{40}$。