有一头母牛,它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始,每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候,共有多少头母牛?

Problem Description
有一头母牛,它每年年初生一头小母牛。每头小母牛从第四个年头开始,每年年初也生一头小母牛。请编程实现在第n年的时候,共有多少头母牛?
Input
输入数据由多个测试实例组成,每个测试实例占一行,包括一个整数n(0<n<55),n的含义如题目中描述。
n=0表示输入数据的结束,不做处理。
Output
对于每个测试实例,输出在第n年的时候母牛的数量。
每个输出占一行。
Sample Input

这里提供两种思路:
方法一:
#include <stdio.h>
int main()
{
int year, cows;
int adult_cows[55] = {0, 1, 1, 1, 1, 2, 3}; //能生育的母牛
int f_cows[55] = {0, 0, 1, 1, 1, 2, 3}; //第一年的小母牛的数量
int s_cows[55] = {0, 0 ,0, 1, 1, 1, 2}; //第二年的小母牛的数量
int t_cows[55] = {0, 0, 0, 0, 1, 1, 1}; //第三年的小母牛的数量
for(int i = 7; i < 55; i++)
{
adult_cows[i] = adult_cows[i-1] + t_cows[i-1];
f_cows[i] = adult_cows[i-1];
s_cows[i] = f_cows[i-1];
t_cows[i] = s_cows[i];
}
while(scanf("%d", &year) != EOF)
{
if(year == 0)
break;
cows = adult_cows[year] + f_cows[year] + s_cows[year] + t_cows[year];
printf("%d\n", cows);
}
return 0;
}

方法二:
这是递推的思路,要知道今年的牛的数量等于去年的牛的数量加上去年的牛生的小牛的数量,又因为只有第四个年头的牛能生产,所以去年生的小牛的数量即为三年前的牛的数量。所以递推式为:cows[i] = cows[i-1] + cows[i-3]

#include <stdio.h>
int main()
{
int cows[55] = {0, 1, 2, 3, 4};
int n, i;
for(i = 5; i < 55; i++)
cows[i] = cows[i-1] + cows[i-3];
while(scanf("%d", &n) != EOF)
{
if(n == 0)
break;
printf("%d\n", cows[n]);
}
return 0;
}

这是一个经典的递归或动态规划问题,可以用C语言轻松解决。以下是详细说明和代码示例。 ### 分析 1. **初始状态**:第1只有1母牛。 2. **繁殖规则**: - 母牛每年年初都会一头母牛。 - 小母牛需要到第4开始才具备育能力。 3. **目标**:求第n母牛总数。 我们可以用一个数组保存每一母牛数量,并利用之前的状态计算当前状态的数量。 --- ### 程序实现 (C语言) ```c #include <stdio.h> int main() { int n; printf("输入份: "); scanf("%d", &n); if (n <= 0) { printf("非法输入!\n"); return -1; } // 定义数组存放每年的奶牛数 int cows[n + 1]; // 初始值 cows[1] = 1; // 第1只有1母牛 cows[2] = 2; // 第2又出一头母牛 cows[3] = 3; // 第3再出一头母牛 // 动态规划填充后续份的奶牛数量 for (int i = 4; i <= n; i++) { cows[i] = cows[i - 1] + cows[i - 3]; // 当第i-3的小母牛开始繁殖 } printf("第%d共有 %d 母牛。\n", n, cows[n]); return 0; } ``` --- ### 示例运行 #### 输入: ``` 输入份: 5 ``` #### 输出: ``` 第5共有 6 母牛。 ``` --- ### 解释逻辑 1. **基础数据**: - 第1: 只有最初的一头母牛 (`cows[1] = 1`)。 - 第2: 新一头母牛 (`cows[2] = 2`)。 - 第3: 再新一头母牛 (`cows[3] = 3`)。 2. **从第4起**: 根据规则,每头在第`i-3`的小母牛从这一开始也会贡献一头新的小母牛。因此公式为: ``` cows[i] = cows[i - 1] + cows[i - 3] ``` 例如: - 第4时,新增加的是第三母牛的孩子 -> `cows[4] = 4`. - 第5时,新增加的是第二母牛的孩子 -> `cows[5] = 6`. --- ### 时间复杂度与空间复杂度分析 - **时间复杂度:** O(n),因为只需遍历一次数组即可完成所有计算。 - **空间复杂度:** O(n),由于需要用数组存储中间结果。 如果希望进一步减少空间占用量,还可以仅保留最近几的数据进行滚动更新。
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