hdu 5726 RMQ+二分

本文介绍了一种高效解决区间GCD查询及计数问题的方法,通过预处理和数据结构优化,实现了快速查询指定区间内的最大公约数及其相同GCD值区间的数量。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

GCD

Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 513    Accepted Submission(s): 164


Problem Description
Give you a sequence of  N(N100,000)  integers :  a1,...,an(0<ai1000,000,000) . There are  Q(Q100,000)  queries. For each query  l,r  you have to calculate  gcd(al,,al+1,...,ar)  and count the number of pairs (l,r)(1l<rN) such that  gcd(al,al+1,...,ar)  equal  gcd(al,al+1,...,ar) .
 

Input
The first line of input contains a number  T , which stands for the number of test cases you need to solve.

The first line of each case contains a number  N , denoting the number of integers.

The second line contains  N  integers,  a1,...,an(0<ai1000,000,000) .

The third line contains a number  Q , denoting the number of queries.

For the next  Q  lines, i-th line contains two number , stand for the  li,ri , stand for the i-th queries.
 

Output
For each case, you need to output “Case #:t” at the beginning.(with quotes,  t  means the number of the test case, begin from 1).

For each query, you need to output the two numbers in a line. The first number stands for  gcd(al,al+1,...,ar)  and the second number stands for the number of pairs (l,r)  such that  gcd(al,al+1,...,ar)  equal  gcd(al,al+1,...,ar) .
 

Sample Input
  
1 5 1 2 4 6 7 4 1 5 2 4 3 4 4 4
 

Sample Output
  
Case #1: 1 8 2 4 2 4 6 1
 

Author
HIT
 

Source

题意:

这是2016多校第一场的1004题,当时没写出来,题意就是求给定区间的gcd值以及与gcd为该值的区间的个数。

思路:

随着区间的扩大,区间gcd值一定是减小的,在减小的情况下,每次至少要减小一个因数,因此最多只会有因数个区间内gcd值是不同的。然后具体处理就是了,具体看代码。

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<list>
//#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f
const int MAXN =100010;
const int mod=1000007;
int dp[MAXN][20];
int mm[MAXN];
void initRMQ(int n,int b[])
{
    mm[0]=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1];
        dp[i][0]=b[i];
    }
    for(int j=1;j<=mm[n];j++)
        for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
            dp[i][j]=__gcd(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
int rmq(int x,int y)
{
    int k=mm[y-x+1];
    return __gcd(dp[x][k],dp[y-(1<<k)+1][k]);
}
int n,q;
int a[MAXN];
struct node
{
    int d;
    long long cnt;
};
list<node> lis[mod];
long long & get(int d)
{
    int h=d%mod;
    for(list<node>::iterator it=lis[h].begin();it!=lis[h].end();it++)
    {
        if((*it).d==d) return (*it).cnt;
    }
    lis[h].push_front((node){d,0});
    for(list<node>::iterator it=lis[h].begin();it!=lis[h].end();it++)
    {
        if((*it).d==d) return (*it).cnt;
    }
}
int half_find(int s,int l,int r,int d)
{
    int mid;
    while(l<=r)
    {

        mid=(l+r)>>1;
        if(rmq(s,mid)>=d) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    int t,tt=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        for(int i=0;i<mod;i++) lis[i].clear();
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
        initRMQ(n,a);
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int l,r=i,d=a[i];
            while(r<=n)
            {
                l=r;
                r=n;
                r=half_find(i,l,r,d);

                long long& cnt=get(d);
                cnt+=r-l;
                d=rmq(i,r);
            }
        }
        printf("Case #%d:\n",++tt);
        scanf("%d",&q);
        for(int i=1;i<=q;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d %d",&x,&y);
            int d=rmq(x,y);
            long long cnt=get(d);
            printf("%d %lld\n",d,cnt);
        }
    }
    return 0;
}



<think>根据用户需求,用户希望寻找洛谷平台上适合练习的线段树相关经典练习题。结合引用内容,我们可以提取出一些经典的线段树题目。 引用[1]提到了洛谷P2824(排序),该题可以通过线段树分裂合并+set或者二分答案+线段树来解决,是一道经典题目。 引用[2]中提到了洛谷P1502(窗口的星星),是一道经典的扫描线问题(通常用线段树实现)。 引用[3]提到了一道分块练习题(但用户要求线段树),所以我们可以忽略分块,但其中提到线段树与树状数组过不了,说明该题可能设计为分块,所以不推荐。 引用[4]中提到了hdu1542(Atlantis,扫描线法)以及一道线段树练习题(未给出题号,但代码是线段树实现的海报张贴问题,类似于洛谷P5490【模板】扫描线)。 此外,根据洛谷常见的线段树经典题,我们还可以补充一些: 1. 洛谷P3372 【模板】线段树1 - 区间修改(加法)、区间查询(求和) 2. 洛谷P3373 【模板】线段树2 - 区间修改(加法、乘法)、区间查询(求和) 3. 洛谷P5490 【模板】扫描线 - 矩形面积并(Atlantis问题) 4. 洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作 - 多种区间操作(赋值、取反、求和、求连续1的个数) 5. 洛谷P1471 方差 - 维护区间和与区间平方和 6. 洛谷P1531 I Hate It - 区间最值、单点修改(较简单) 结合引用中提到的题目,我们重点推荐: 1. 洛谷P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序(引用[1]) 题目大意:给出一个1到n的全排列,现在进行m次局部排序,排序分为两种:(1)将区间[l,r]升序排序;(2)将区间[l,r]降序排序。最后询问第q位置上的数。 解题方法:二分答案+线段树 或 线段树分裂合并(较难)。该题是线段树应用的经典题目,可以锻炼对线段树的灵活运用。 2. 洛谷P1502 窗口的星星(引用[2]) 题目大意:平面上有n颗星星,每颗星星有一个亮度。用一个宽为W、高为H的矩形去框星星,求矩形能框住的星星的亮度之和的最大值(边框上的星星不算)。 解题方法:扫描线+线段树。该题是经典的扫描线问题,需要将问题转化为区间操作,并用线段树维护最大值。 3. 洛谷P5490 【模板】扫描线(引用[4]中hdu1542的同类型题,在洛谷上为P5490) 题目大意:求n个矩形的面积并。 解题方法:扫描线+线段树。这是扫描线最基础的应用,适合学习扫描线算法。 4. 洛谷P2572 [SCOI2010]序列操作 题目大意:对一个01序列进行5种操作:区间置0、区间置1、区间取反、区间求和、区间求连续1的个数。 解题方法:线段树维护多个标记(覆盖标记、取反标记)和复杂信息(连续段)。这题对线段树的能力提升很大。 5. 洛谷P3373 【模板】线段树2 题目大意:区间乘、区间加、区间求和。线段树处理两种区间修改的模板题。 6. 洛谷P1471 方差 题目大意:维护一个数列,支持区间加,以及求区间平均值和区间方差。 解题方法:线段树维护区间和与区间平方和。通过数学推导,方差可以由平方和与和推导出来。 7. 洛谷P1531 I Hate It 题目大意:单点修改,区间查询最大值(RMQ问题)。 解题方法:线段树维护区间最大值。适合入门。 以上题目难度由浅入深,涵盖了线段树的基本操作、延迟标记、扫描线、复杂信息维护等。 相关问题: 1. 线段树在处理区间问题时有哪些优势? 2. 线段树在处理区间修改时,延迟标记(lazy tag)是如何工作的? 3. 扫描线算法通常用于解决哪些问题? 4. 如何用线段树维护区间历史最值? 5. 线段树和树状数组在应用上有何异同?</think>### 线段树经典练习题推荐(洛谷平台) 以下是结合经典题型和引用内容的推荐题目列表,难度由浅入深,覆盖线段树的核心应用场景: --- #### **1. 基础模板题** - **P3372 【模板】线段树1** - **内容**:区间加法、区间求和 - **推荐理由**:线段树最基础的模板题,适合入门[^2]。 - **P3373 【模板】线段树2** - **内容**:区间加法+乘法混合操作 - **关键点**:需处理多种标记的优先级(先乘后加)[^4]。 --- #### **2. 扫描线应用(面积/覆盖问题)** - **P5490 【模板】扫描线** - **内容**:求 $n$ 个矩形的面积并 - **方法**:扫描线+线段树维护区间覆盖长度[^4]。 - **P1502 窗口的星星** - **内容**:用固定窗口框住星星的最大亮度 - **技巧**:将点转化为矩形,扫描线求最大重叠值[^2]。 --- #### **3. 二分答案+线段树** - **P2824 [HEOI2016/TJOI2016]排序** - **内容**:对序列的局部区间升序/降序排序,最后查询单点值 - **解法**: 1. 二分答案 $x$,将序列转化为 $01$ 序列($≥x$ 为 $1$,否则为 $0$) 2. 用线段树模拟区间排序(统计 $1$ 的数量并区间赋值)[^1]。 --- #### **4. 动态开点与权值线段树** - **P3960 列队(NOIP2017)** - **内容**:矩阵中多次删除元素并添加到队尾 - **优化**:动态开点线段树维护区间删除和查询位置。 --- #### **5. 复杂标记与信息维护** - **P2572 [SCOI2010]序列操作** - **内容**:区间赋值、取反、求和、求连续 $1$ 的最大长度 - **难点**:设计标记传递规则,维护多维度信息(需记录左右端点状态)[^4]。 - **P1471 方差** - **内容**:维护区间方差 $s^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2$ - **技巧**:转化为维护区间和 $\sum x_i$ 与区间平方和 $\sum x_i^2$[^2]。 --- #### **6. 空间优化与分块对比** - **分块练习题(如引用[3])** - **场景**:当空间限制严格时(如 $4\text{MB}$),分块可能优于线段树 - **思考点**:对比线段树与分块在时间/空间上的取舍[^3]。 --- ### 练习建议 1. **先掌握模板**:完成 `P3372` 和 `P3373`,理解延迟标记(lazy tag)的实现。 2. **再攻应用场景**:尝试扫描线(`P5490`)和二分答案(`P2824`)。 3. **最后挑战综合题**:如 `P2572` 需同时处理多种操作,适合检验综合能力。 > 提示:所有题目均可在洛谷在线评测系统提交,部分题目在引用[1]的OJ中已收录题解。 --- ###
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值