树状数组入门——以洛谷3374为例

树状数组入门

含义：顾名思义，用树状表示的数组
功能：是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。

如图所示：

数组a[i]表示叶子节点
c[i]表示叶子节点的权值之和
根据上图可以得到下面的各式子

c[1]=a[1]
c[2]=a[1]+a[2]
c[3]=a[3]
c[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
c[5]=a[5]
c[6]=a[5]+a[6]
c[7]=a[7]
c[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]

那么我们怎么知道要加几个数呢？它有没有啥规律呢？

这时候引入一个数k：表示二进制下i的二进制中从最低位到高位连续零的长度
每个c[i]需要加2^k个数: 即c[i]=a[i]+a[i-1]+…a[i-2^k]

怎么能很直观的知道2^k是多少呢
这里我们引入一个lowbit()函数

int lowbit(int i){
	return i&(-i);
}

可以写个简单的程序感受一下

#include<iostream>
using namespace std;

int lowbit(int i){
	return i&(-i);
} 
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<lowbit(i)<<endl;
	}
	return 0;
}

Problem 洛谷3374 树状数组1

题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和

输入格式
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和

输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。

输入

5 5
1 5 4 2 3
1 1 3
2 2 5
1 3 -1
1 4 2
2 1 4

输出

14
16

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=2e6+5;
int n,m;
int tree[maxn];
int lowbit(int i){//lowbit()
	return i&(-i);
}
void add(int x,int k){//给第i位加k
	while(x<=n){
		tree[x]+=k;//第x位加k
		x+=lowbit(x);//相应的区间包括第x位的都要加k
	}
}
int sum(int x){
	int ans=0;//ans表示前x项的和
	while(x!=0){
		ans+=tree[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int a;
		cin>>a;
		add(i,a);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;
		cin>>a>>b>>c;
		if(a==1){
			add(b,c);
		}else if(a==2){
			cout<<sum(c)-sum(b-1)<<endl;//[b,c]=前c位的和-前(b-1)位的和
		}
	}
	return 0;
}

提高题 洛谷3368 树状数组2