两个空间（N维欧氏空间、Lebesgue空间）的Holder不等式

Holder不等式是范数理论中重要的不等式，表述如下：
$$\Vert xy{\Vert }_1\le \Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_q,\text{ where }p>0,q>0,\text{ and }\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1(1)$$
p 和 q 称为共轭指数。
N维欧氏空间 $R^n$ 的 $l_p$ 范数定义为：
$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}(2)$$
于是，Holder不等式在欧氏空间中表示为：
$$|x^{T}y|\le \Vert x{\Vert }_p\Vert y{\Vert }_q={\left(\sum _{i=1}^n|x_i{|}^p\right)}^{1/p}{\left(\sum _{i=1}^n|y_i{|}^q\right)}^{1/q}(3)$$
在 $L^p$ 空间中，$L^p$ 范数定义为：
$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_E|f(x){|}^{p}dx\right)}^{\frac{1}{p}}$$
Holder不等式为：
$$\begin{gathered} \Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q, \\ \text{ where }f\in L^p(E),g\in L^q(E),\text{ with }{p}^{-1}+q^{-1}=1(4) \end{gathered}$$
$f,g$ 是可测集 $E\subset R^n$ 上的可测函数，其中
Lp(E):={f∈M(E)∣ ∥f∥p&lt;∞}(5)L^p(E):=\{f\in \mathfrak M(E)|\ \Vert f\Vert_p\lt \infty\}\qquad(5)Lp(E):={f∈M(E)∣ ∥f∥p​<∞}(5)
$\mathfrak{M}(E)$ 表示 $E$ 上全体可测函数的集合。Holder定理证明如下。
证明：
若 $p=1$，则 $q=\infty$，则有：
$$\begin{gathered} \Vert fg{\Vert }_1={\int }_E|f(x)g(x)|dx\le \Vert g{\Vert }_{\infty }{\int }_E|f(x)|dx \\ \text{where }\Vert g{\Vert }_{\infty }=\underset{\Delta \subset E,m(\Delta )=0}{\inf }\underset{x\in E\setminus \Delta }{\sup }|g(x)| \\ \text{so }\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert g{\Vert }_{\infty }\cdot \Vert f{\Vert }_1 \end{gathered}$$
(4)式成立。接下来，证明 $1<p<\infty$ 的情况。
当 $\Vert f{\Vert }_p=0$ 或 $\Vert g{\Vert }_p=0$ 时，总有 $f(x)g(x)=0,a.e.[E]$，(4)式仍然成立，故只需考虑 $\Vert f{\Vert }_p\ge 0,\Vert g{\Vert }_q\ge 0$。
由于 $\ln x$ 在 $x>0$ 上是凸函数，所以：
$$\begin{gathered} \frac{1}{p}\ln a+\frac{1}{q}\ln b\le \ln \left(\frac{a}{p}+\frac{b}{q}\right),\text{with}\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \\ \Rightarrow a^{1/p}{b}^{1/q}\le \frac{a}{p}+\frac{b}{q} \end{gathered}$$
令
$$a=\frac{|f(x){|}^p}{\Vert f{\Vert }_p^p},b=\frac{|g(x){|}^q}{\Vert g{\Vert }_q^q}$$
可得，
$$\begin{gathered} \frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p}\cdot \frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}\le \frac{1}{p}\frac{|f(x){|}^p}{\Vert f{\Vert }_p^p}+\frac{1}{q}\frac{|g(x){|}^q}{\Vert g{\Vert }_q^q},\text{两边积分有} \\ {\int }_E\frac{|f(x)|}{\Vert f{\Vert }_p}\cdot \frac{|g(x)|}{\Vert g{\Vert }_q}dx\le {\int }_E\frac{1}{p}\frac{|f(x){|}^p}{\Vert f{\Vert }_p^p}dx+{\int }_E\frac{1}{q}\frac{|g(x){|}^q}{\Vert g{\Vert }_q^q}dx \end{gathered}$$
因为
$${\int }_E|f(x){|}^{p}dx=\Vert f{\Vert }_p^p,{\int }_E|g(x){|}^{q}dx=\Vert g{\Vert }_q^q$$
则得：
$$\begin{gathered} \frac{1}{\Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q}{\int }_E|f(x)g(x)|dx\le \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 \\ {\int }_E|f(x)g(x)|dx\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q\Rightarrow \Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\cdot \Vert g{\Vert }_q \end{gathered}$$
证毕。$\square$

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进一步讨论 $L^p$ 中的 Holder 不等式，令 $\Vert g{\Vert }_q=1$，则有：
$$\left|{\int }_{E}f(x)g(x)dx\right|\le \Vert f{\Vert }_p(6)$$
对于任意的函数 $f\in L^{\infty }(E)$ 有：
$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{\Vert g{\Vert }_1=1}{\sup }\left\{{\int }_{E}f(x)g(x)dx\right\}(7)$$
(7)式证明如下：
证明：
记 $\Vert f{\Vert }_{\infty }=M>0$。任取 $\epsilon >0$，存在可测子集 $A\subset E$，使得
$$|f(x)|>M-\epsilon ,x\in A$$
并且，集合 $A$ 的测度 $m(A)=a>0$。令：
$$g(x)=\frac{1}{a}{\chi }_A(x)\cdot \text{sign}f(x)$$
其中，${\chi }_A(x)$ 表示集合 $A$ 的特征函数。则
$$\Vert g{\Vert }_1={\int }_E|g(x)|=\frac{1}{a}{\int }_A{\chi }_A(x)dx=1$$
而且
$${\int }_{E}f(x)g(x)dx=\frac{1}{a}{\int }_E|f(x)|{\chi }_A(x)dx=\frac{1}{a}{\int }_A|f(x)|dx>M-\epsilon$$
由 $\epsilon$ 的任意性，即得到结论。

参考文献：

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1、《实变函数与泛函分析》
2、《最优化理论和方法》