抄书——最优化的理论与方法（3）——数学基础（矩阵的Rayleigh商）

最新推荐文章于 2025-05-26 12:59:18 发布

田神

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本文探讨了Hermit矩阵的Rayleigh商概念及其性质，包括齐次性、极性和极小残量性质，通过数学证明阐述了这些性质的合理性。

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定义 1.2.4：
设 $A$ 是 $n×nn\times n$ Hermite 矩阵， $u∈Cnu\in C^n$ ，则称：
$R_{\lambda}(u)=\frac{u^*Au}{u^*u},u\neq0 \qquad(1.2.28)$
为 Hermite 矩阵 $A$ 的 Rayleigh 商（Rayleigh Quotient）。
定理 1.2.5：
设 $A$ 是 $n×nn\times n$ Hermite 矩阵， $u∈Cnu\in C^n$ ，则（1.2.28）定义的 Rayleigh 商具有下列基本性质：
（1）齐次性
$R_{\lambda}(\alpha u)=R_{\lambda}(u),\alpha \neq 0\qquad(1.2.29)$
（2）极性
$\lambda_1=\max_{\Vert u \Vert_2=1} u^*Au = \max_{\Vert u \Vert \neq 0}\frac{u^*Au}{u^*u}\qquad(1.2.30)\\ \lambda_n=\min_{\Vert u \Vert_2=1} u^*Au = \min_{\Vert u \Vert \neq 0}\frac{u^*Au}{u^*u}\qquad(1.2.31)$
这表明 Rayleigh 商具有有界性
$\lambda_n\le R_{\lambda}(u) \le \lambda_1 \qquad(1.2.32)$
（3）极小残量性质：对任意 $u∈Cnu\in C^n$
$\Vert (A-R_{\lambda}(u)I)u\Vert \le \Vert(A-\mu I)u\Vert,\quad\forall \mu\in R\qquad(1.2.33)$
证明：
性质(1)从定义 1.2.4 可以直接得到。
由于性质(1)，我们可以在单位球面 $∥x∥2=1\Vert x \Vert_2 =1$ 上讨论 Rayleigh商，即
$R_{\lambda}(u) = u^*Au,\quad \Vert u \Vert_2=1$
设酉矩阵 $T$ 将 $A$ 化为对角矩阵， $T∗AT=ΛT^*AT=\Lambda$ （这是由 $A$ 是 Hermite 矩阵得到的），又设 $\Rightarrow y=T^*u$ ，则
$u^*Au=u^*T\Lambda T^*u = y^* \Lambda y=\sum_{i=1}^{n}\lambda_i \vert y_i \vert^2 \left\{ \begin{array}{c}\ge \lambda_n \sum_{i=1}^{n}\vert y_i\vert^2\\ \le \lambda_1 \sum_{i=1}^{n}\vert y_i\vert^2 \end{array}\right.$
注意到 $∥u∥2=∥y∥2=1\Vert u \Vert_2=\Vert y \Vert_2=1$ ，因而有界性得到，并且当 $y1=1,yi=0,i≠1y_1=1,y_i=0,i\neq 1$ 时，极大值 $λ1\lambda_1$ 达到；当 $yn=1,yj=0,j≠ny_n=1,y_j=0,j\neq n$ 时，极小值 $λn\lambda_n$ 达到，从而性质（2）成立。
为了证明性质（3），我们定义
$s(u)=Au-R_{\lambda}(u)u,\quad u\neq 0\qquad(1.2.34)$
于是有
$Au=s(u)+R_{\lambda}(u)u \qquad(1.2.35)$
由于
$(s(u),u)=(Au-R_{\lambda}(u)u,u)=u^*(Au-R_{\lambda}(u)u)=u^*Au-u^*R_{\lambda}(u)u=0$
可知 $A$ 的分解（1.2.35）是直交分解，从而 $Rλ(u)uR_{\lambda}(u)u$ 是 $A u$ 在 $L=\{ u\}$ 上的直交投影，从而（1.2.34）定义的残量具有极小性质（3）。