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上一节《Cocos2d-x 地图行走的实现2：SPFA算法》：
http://blog.youkuaiyun.com/stevenkylelee/article/details/38440663
如果读者忘记了之前我们的Dijkstra的实现，请顺藤摸瓜翻到第一节文章回顾一下。为什么要这样做呢？因为本节要讲的A*算法其实是Dijkstra的一种改进，只有理解了Dijkstra才能更好地理解A*。
本节，我们先修改一下之前的Dijkstra的实现，让它变得更像A*的结构。然后，我们再把Dijkstra改成A*。
1.回顾和修改一下之前的Dijkstra的实现
回顾一下之前Dijkstra的实现。Dijkstra需要从一个表Ｑ中选出一个路径代价最小的顶点。之前我们的实现是，一开始就把所有的顶点都放入这个表Ｑ中。仔细想下就会发现，那些被初始化为路径代价最大值0x0FFFFFFF的顶点是不可能会被选中的，对于这些顶点不需要遍历。从表中取出的路径代价最小的顶点，取出一个就表示从起点找到了到这个顶点的最短路径，这些顶点不需要再放回列表中。
我们可以对Dijkstra做这样一个小小的优化，虽然还是Ｏ（Ｎ＾２），时间复杂度没有改变：
一开始只把起始顶点放入表中。
如果松弛成功，就把边终点指向的顶点放入表中。
这样做的话，Relax就要返回结果了。
实现代码如下：
void Dijkstra::Execute( const Graph& Graph , const string& VetexId )
{
m_Ret.PathTree.clear( ) ;
const auto& Vertexes = Graph.GetVertexes( ) ;
Vertex* pVertexStart = Vertexes.find( VetexId )->second ;
vector< Vertex* > Q ;
// 初始化顶点
for ( auto& it : Vertexes )
{
it.second->PathfindingData.Cost = 0x0FFFFFFF ;
pVertexStart->PathfindingData.pParent = 0 ;
}
// 初始化起始顶点
pVertexStart->PathfindingData.Cost = 0 ;
pVertexStart->PathfindingData.pParent = 0 ;
// 把起始顶点放入列表中
Q.push_back( pVertexStart ) ;
pVertexStart->PathfindingData.Flag = true ;
for ( ; Q.size() > 0 ; )
{
// 选出最小路径估计的顶点
auto v = ExtractMin( Q ) ;
v->PathfindingData.Flag = false ;
// 对所有的出边进行“松弛”
const auto& EO = v->GetEdgesOut( ) ;
for ( auto& it : EO )
{
Edge* pEdge = it.second ;
Vertex* pVEnd = pEdge->GetEndVertex( ) ;
bool bRet = Relax( v , pVEnd , pEdge->GetWeight( ) ) ;
// 如果松弛成功，加入列表中。
if ( bRet && pVEnd->PathfindingData.Flag == false )
{
Q.push_back( pVEnd ) ;
pVEnd->PathfindingData.Flag = true ;
}
}
// end for
}
// end for
}
Dijkstra要比BFS聪明，BFS只是“盲目地”从队列中取出元素出来扩展，Dijkstra则知道每次应该选取路径代价最短的节点扩展。
2.A*算法
Dijkstra比BFS聪明，A*则比Dijkstra更聪明，运行更快。A*通过一个叫“启发式函数”的东东来改进扩展规则，它会尽量避免扩展其他无用的顶点，它的目标就是朝着目的地直奔而去的。这样说，好像A*长了眼睛一样能看到当前位置距离目标点还有多远。A*和上面的Dijkstra最大的区别就是有“眼睛”：启发式函数。
启发式函数会告诉A*应该优先扩展哪个顶点。启发式函数是怎么回事呢？公式表示是：F = G + H。简单地说，就是：当前顶点的路径代价（G） + 当前顶点距离目标顶点估计花费的代价（F）
之前对Dijkstra做修改优化，就是为了让它更加像A*算法。这里，把Dijkstra的启发式数据从选拥有最小路径代价的顶点改成选拥有最小的F（启发式函数的值）的顶点就变成了A*。估价函数H怎么设计呢？这里取顶点到目标顶点的距离即可。
我们需要对上面的Dijkstra和数据结构做如下改造：
1.顶点类的寻路数据结构体增加一个Heuristic字段。该字段用于A*算法，保存启发式函数计算出来的值。如下所示：
class Vertex
{
// ... 省略了一些无关函数和字段
// 和以前一样
public :
// 寻路算法需要的数据
struct Pathfinding
{
// 顶点的前驱顶点。
Vertex * pParent ;
// 路径代价估计
int Cost ;
// 标识符
int Flag ;
// 启发式函数的计算出来的值
int Heuristic ;
Pathfinding( )
{
pParent = 0 ;
Cost = 0 ;
Flag = 0 ;
Heuristic = 0 ;
}
}
PathfindingData ;
}
2.Dijkstra的Relax松弛函数，改成限制启发式函数F的值。如果计算出来的F值小于这个顶点原先的F值，就更新该顶点的父节点、实际路径代价、F值。
3.每次循环都判断下，找出来的最小F值的顶点是不是目标顶点。如果是目标顶点，说明找到了路径，算法结束。
用在这里的A*伪代码如下：
AStar( 图G，起始顶点S，目标顶点T）
{
把起点S放入Open表中
while( Open表不为空）
{
从Open表中取出估价值F最小的顶点v
标记v不在Open表中
if( v 等于 目标顶点T）
{
// 找到了路径
retrun ;
}
foreach( v的所有出边的终点顶点vEnd )
{
Relax( v , vEnd , 边的权值 ）
if( Relax松弛成功 且 顶点vEnd不在Open表中 )
{
把vEnd放入Open表中 ;
标记vEnd在Open表中 ;
}
}
}
}
bool Relax( 顶点from , 顶点to , 边上的权值 )
{
// A*启发式函数计算 F = G + H
G = 顶点from的路径代价 + 边上的权值 ;
H = 顶点to到目标顶点T的估计代价 ;
F = G + H ;
if( F < 顶点to的F估价值）
{
记录to的父路径为from ;
顶点to的路径代价值更新为G ;
顶点to的启发式估价值F更新为F ;
return true ;
}
return false ;
}可以看到，A*和我们改造的Dijkstra算法，是很像的。如果我们让 A* 的启发式函数 F=G+H 的 H 一直返回 0，那就是一个 Dijkstra 。道理很简单， H = 0 ，那就是 F = G + 0 ，F 直接等于 G 了，选拥有最小启发式函数值F的顶点就变成了选拥有最小路径代价的顶点，可见失去估价函数H的 A* 就和 Dijkstra 是一样的。所以，在选顶点方面，优化Dijkstra的方案也是优化A*的方案。
Dijkstra 基于实际的路径代价进行扩展，一定能找到最优解。A*则是基于某种估计，如果你让估价函数H估计得太离谱，A* 就不一定能找到最优解了。估价值 <= 实际值A*才能找到最优解。
AStar.h
#pragma once
#include "GraphPathfinding.h"
#include <functional>
class AStar : public GraphPathfinding
{
public:
AStar( );
~AStar( );
public :
// 估计顶点到目标顶点的代价
std::function<int( const Vertex* pVCurrent , const Vertex* pVTarget ) > Estimate ;
public:
virtual void Execute( const Graph& Graph , const string& VetexId ) override ;
private :
// 抽出最小路径估值的顶点
inline Vertex* ExtractMin( vector< Vertex* >& Q ) ;
// 松弛
inline bool Relax( Vertex* v1 , Vertex* v2 , int Weight ) ;
public:
void SetTarget( Vertex* pVTarget ) { m_pVTarget = pVTarget ; }
private:
Vertex* m_pVTarget ;
};
AStar.cpp
#include "AStar.h"
AStar::AStar( )
{
}
AStar::~AStar( )
{
}
void AStar::Execute( const Graph& Graph , const string& VetexId )
{
const auto& Vertexes = Graph.GetVertexes( ) ;
Vertex* pVertexStart = Vertexes.find( VetexId )->second ;
vector< Vertex* > Q ;
// 初始化顶点
for ( auto& it : Vertexes )
{
Vertex* pV = it.second ;
pV->PathfindingData.Cost = 0 ;
pV->PathfindingData.pParent = 0 ;
pV->PathfindingData.Heuristic = 0x0FFFFFFF ;
pV->PathfindingData.Flag = false ;
}
// 初始化起始顶点
pVertexStart->PathfindingData.pParent = 0 ;
pVertexStart->PathfindingData.Cost = 0 ;
pVertexStart->PathfindingData.Heuristic = Estimate( pVertexStart , m_pVTarget ) ;
// 把起始顶点放入列表中
Q.push_back( pVertexStart ) ;
pVertexStart->PathfindingData.Flag = true ;
for ( ; Q.size( ) > 0 ; )
{
// 选出最小路径估计的顶点
auto v = ExtractMin( Q ) ;
v->PathfindingData.Flag = false ;
if ( v == m_pVTarget )
{
return ;
}
// 对所有的出边进行“松弛”
const auto& EO = v->GetEdgesOut( ) ;
for ( auto& it : EO )
{
Edge* pEdge = it.second ;
Vertex* pVEnd = pEdge->GetEndVertex( ) ;
bool bRet = Relax( v , pVEnd , pEdge->GetWeight( ) ) ;
// 如果松弛成功，加入列表中。
if ( bRet && pVEnd->PathfindingData.Flag == false )
{
Q.push_back( pVEnd ) ;
pVEnd->PathfindingData.Flag = true ;
}
}
// end for
}
// end for
}
Vertex* AStar::ExtractMin( vector< Vertex* >& Q )
{
Vertex* Ret = 0 ;
Ret = Q[ 0 ] ;
int pos = 0 ;
for ( int i = 1 , size = Q.size( ) ; i < size ; ++i )
{
if ( Ret->PathfindingData.Heuristic > Q[ i ]->PathfindingData.Heuristic )
{
Ret = Q[ i ] ;
pos = i ;
}
}
Q.erase( Q.begin( ) + pos ) ;
return Ret ;
}
bool AStar::Relax( Vertex* v1 , Vertex* v2 , int Weight )
{
// 这里就是启发式函数
int G = v1->PathfindingData.Cost + Weight ; // 取得从V1到V2的实际路径代价
int H = Estimate( v2 , m_pVTarget ) ; // 估计V2到目标节点的路径代价
int nHeuristic = G + H ; // 实际 + 估算 = 启发式函数的值
// 如果从此路径达到目标会被之前计算的更短，就更新
if ( nHeuristic < v2->PathfindingData.Heuristic )
{
v2->PathfindingData.Cost = G ;
v2->PathfindingData.pParent = v1 ;
v2->PathfindingData.Heuristic = nHeuristic ;
return true ;
}
return false ;
}
Ｈ函数（估计当前顶点到目标顶点的代价）”外包“到外部执行了。因为AStart类是不知道MapWalkVertex顶点类的存在的。为什么要”外包“执行，而不是在AStar类中做呢？如果要在AStar类中做，就需要知道每个顶点的几何位置，而顶点的几何位置是Cocos2D-x的Node类的属性。AStar类不应该和其他东西耦合，为了”独立“，”通用“，计算Ｈ就用观察者模式思想，”外包“执行了。
AStar类的使用，如下：
// A*的Ｈ估价函数
auto Estimate = [ ]( const Vertex* pVCurrent , const Vertex* pVTarget )->int
{
MapWalkVertex * pMwv1 = ( MapWalkVertex* )pVCurrent->UserData.find( "mwv" )->second ;
MapWalkVertex * pMwv2 = ( MapWalkVertex* )pVTarget->UserData.find( "mwv" )->second ;
Point v = pMwv1->getPosition( ) - pMwv2->getPosition( ) ;
int H = v.getLength( ) ;
return H ;
} ;
AStar AStar ;
// 设置目的顶点
AStar.SetTarget( pVertexTarget ) ;
// 设置Ｈ估价函数
AStar.Estimate = Estimate ;
// 开始执行
AStar.Execute( *m_pGraph , pMwvStart->GetGraphVertex( )->GetId( ) ) ;
OK ,A* 完成了。测试运行一下：
经过测试。我们的Ａ*能找到最短路径。并且执行速度比Dijkstra和Spfa都快。
4.简要总结Djikstra，SPFA，A*算法
Dijsktra : 选出一个具有最小路径代价的顶点，松弛其所有的边。
SPFA : 用一个队列存放顶点，从队列中取出队头顶点，松弛其所有边，如果松弛成功，边上顶点入队。
A* : 是Djikstra的改进版。选出具有启发式函数值最小的顶点，松弛其所有的边。
4.本文源代码工程下载：
http://download.youkuaiyun.com/detail/stevenkylelee/7734787
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