Climbing Stairs(爬楼梯 Leetcode 第70题,最优解法)

解法# 英文原题

You are climbing a stair case. It takes n steps to reach to the top.
Each time you can either climb 1 or 2 steps. In how many distinct ways can you climb to the top?
Note: Given n will be a positive integer.

Example 1: Input: 2 ; Output: 2
Explanation: There are two ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step
2. 2 steps

---

Example 2: Input: 3 ; Output: 3;
Explanation: There are three ways to climb to the top.

1. 1 step + 1 step + 1 step
2. 1 step + 2 steps
3. 2 steps + 1 step

中文题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：
输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例 2：
输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

##首先想到的解法
看到这道题目我首先想到的是一个递推的过程,
假设当前楼梯是n ;当前楼梯有多少爬法 使用 f(n)表示.
要知道当前楼梯f(n)的爬法,只需要知道前一个楼梯的爬法f(n-1),和前一阶楼梯的爬法f(n-2)

因为f(n-1)再爬一步就是 f(n)
f(n-2) 一次两步就是 f(n)

f(n) 的楼梯爬法只有这两种可能
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
于是我就想到了递归

下面是第一中解法(C语言版)

int climbStairs(int n) 
{
    if( n <= 2)
    {
        return n;
    }
    else
    {
        return climbStairs(n-1)+climbStairs(n-2);
    }
    
}

其他细节 由于**给定 n 是一个正整数。**所以不用考虑0 的情况

很遗憾这个做法,没能通过leetcode测试,提示的是超时, 45个用例,过了21个.说明程序本身的递推是没有问题的,程序的执行效率和环境上就要再考虑考虑了. 看到博客里面有人真就是以同样的思路做的,参考爬楼梯,而且还AC了,估计不是在leetcode上面做的,而且测试用例中输入的N比较小
至于超时得到原因是,这里使用了递归,递归会保存调用栈,一旦给的n比较大,就会造成栈击穿,从而出现错误.

优化方法二

将递归转换为循环

int climbStairs(int n) 
{
    int i =0;
    int  ret =0 ;
    int * arr = (int *)malloc((n+1)*sizeof(int));
    
    for ( i=0; i<=n; i++)
    {
        if(i <3)
        {
            arr[i]=i;
        }
        else
        {
            arr[i]=arr[i-1]+arr[i-2];
        }
    }
    
    ret = arr[n];
    free(arr);
    arr=NULL;
    return ret;
}

这个方法,可以通过leetcode 测试,但是N比较大的时候,还是会耗费很多堆内存,实际上每个递推过程中只和三级台阶相关,所以还可以继续优化

优化方式三

int climbStairs(int n) 
{
    int arr[3]={0,1,2};
    
    if (n < 3)
    {
        return n;
    }
    
    for (int i=3; i<=n; i++)
    {
         arr[i%3]=arr[(i-1)%3]+arr[(i-2)%3];
    }

    return arr[n%3];
}

不用申请堆内存,而且栈内存只用了 3个int类型,循环存放递推的结果,大大提高了效率.

最快的方法 (以空间换取时间)

int climbStairs(int n) 
{ 
	if(n <1)
	{
		return 1;
	}else if( n < 47)
	{
    	int arr[47]={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,14930352,24157817,39088169,63245986,102334155,165580141,267914296,433494437,701408733,1134903170,1836311903,2971215073};
    }else{
   		 return -1; //整数翻转
    }

}