Day2 神奇矩阵

原创已于 2025-01-23 19:35:15 修改 · 1.5k 阅读

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#矩阵 #算法 #线性代数

于 2025-01-23 19:29:28 首次发布

神奇矩阵

如图所示，所谓神奇矩阵就是将 $1$ ~ $9$ 这 $9$ 个数排成 $3$ 行 $3$ 列，使其行、列、对角线上 $3$ 个数之和相同。试输出所有神奇矩阵的排序方式。

输入格式

无输入。

输出格式

输出所有神奇矩阵的排序方式，每种之间空一行。

解题思路

这道题最容易想到的算法是枚举法，但其时间复杂度高达 $O(n^3)$ 。伪代码如下所示：

for(int i=159; i<=951; i++)//枚举第1行数
	for(int j=159; j<=951; j++)//枚举第2行数
		for(int j=159; k<=951; k++)//枚举第3行数
		{
			将i、j、k这3个三位数拆成9个一位数
			判断3行上的3个数之和是不是15
			判断3列上的3个数之和是不是15
			判断两2对角线上的3个数之和是不是15
			判断9个数是否重复
		}

进一步的优化是将每一行看作一个三位数，首先找出所有三位上的数之和为 $15$ ，且把三位上的各不相同的三位数一次存入数组 $a ry []$ 。

再通过枚举的方法从 $a ry []$ 中任取 $3$ 个数，为方便起见，将放在第 $1$ 行的数编号为 $1$ ，将放在第 $2$ 行的数编号为 $2$ ，将放在第 $3$ 行的数编号为 $3$ ，显然这 $3$ 行数共有 $6$ 种排列方式，分别为 $(1, 2, 3)$ 、 $(1, 3, 2)$ 、 $(2, 1, 3)$ 、 $(2, 3, 1)$ 、 $(3, 1, 2)$ 及 $(3, 2, 1)$ 。

因为从 $3$ 行数中取 $1$ 行数放在第 $1$ 行有 $3$ 种方法，再取 $1$ 行数放在第 $2$ 行有 $2$ 种方法，最后 $1$ 行数放在第 $3$ 行只有 $1$ 种方法，由乘法原理得 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 种方法。更进一步，记 $A^m_n$ 表示从 $n$ 个不同的元素中任取 $\le n)$ 个元素，计算公式为 $A^m_n=n(n-1)(n-2)$ ··· $(n - m + 1)$ 。参考程序如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
	int a,b,c,n=0,ary[100];
	for(int i=159; i<=951; i++)
	{
		a=i/100;
		b=i/10%10;
		c=i%10;
		if(a+b+c==15&&a!=c&&a!=b&&b!=c&&a*b*c!=0)
			ary[n++]=i;
	}
	int a1,b1,c1,a2,b2,c2,a3,b3,c3;
	for(int i=0; i<n; i++)
		for(int j=i+1; j<n; j++)
			for(int k=j+1; k<n; k++)
			{
				a1=ary[i]/100;b1=ary[i]/10%10;c1=ary[i]%10;
				a2=ary[j]/100;b2=ary[j]/10%10;c2=ary[j]%10;
				a3=ary[k]/100;b3=ary[k]/10%10;c3=ary[k]%10;
				if(a1+a2+a3==15&&b1+b2+b3==15&&c1+c2+c3==15&&a1*b1*c1*a2*b2*c2*a3*b3*c3==362880)
				{
					if(a1+b2+c3==15&&c1+b2+a3==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[i],ary[j],ary[k]);
					if(a1+b3+c2==15&&c1+b3+a1==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[i],ary[k],ary[j]);
					if(a2+b1+c3==15&&c2+b1+a3==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[j],ary[i],ary[k]);
					if(a2+b3+c1==15&&c1+b3+a2==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[j],ary[k],ary[i]);
					if(a3+b2+c1==15&&c3+b2+a1==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[k],ary[j],ary[i]);
					if(a3+b1+c2==15&&c3+b1+a2==15)
						printf("%d\n%d\n%d\n\n",ary[k],ary[i],ary[j]);
				}
			}
	return 0;
}

当然，我们还可以继续深入。仔细推算可以发现，根据其奇偶性质，满足条件的只有下面的这一种情况：

如图所示
而偶数仅有 $2$ 、 $4$ 、 $6$ 、 $8$ 这 $4$ 个数，正好占据了矩阵的 $4$ 个角。那么到了这里，我们就完全可以根据现有的矩阵填充的数学规律，直接填写出满足条件的一个答案，如下图所示：

如图所示
上图的填充规律是，在第 $1$ 行中间填 $1$ ，然后 $1$ 的右上角即 $2$ 的位置（行越界则移到最后一行）， $2$ 的右上角即 $3$ 的位置（列越界则移到第 $1$ 列）以此类推。一直到碰到已经填好的数为止，此时数向下填。填好后将此序列进行旋转 $90$ 度和上下翻转即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[3][3],b[3][3];
int main()
{
	int x=0,y=1;
	a[0][1]=1;
	for(int i=2; i<=9; i++)
	{
		int tx=(x+2)%3;
		int ty=(y+1)%3;
		if(a[tx][ty]==0)
		{
			a[tx][ty]=i;
			x=tx;
			y=ty;
		}
		else
		{
			x=(x+1)%3;
			a[x][y]=i;
		}
	}
	for(int i=0; i<=3; i++)
	{
		printf("%d%d%d\n",a[0][0],a[0][1],a[0][2]);
		printf("%d%d%d\n",a[1][0],a[1][1],a[1][2]);
		printf("%d%d%d\n\n",a[2][0],a[2][1],a[2][2]);
		printf("%d%d%d\n",a[2][0],a[2][1],a[2][2]);
		printf("%d%d%d\n",a[1][0],a[1][1],a[1][2]);
		printf("%d%d%d\n\n",a[0][0],a[0][1],a[0][2]);
		for(int ii=0; ii<3; ii++)
			for(int jj=0; jj<3; jj++)
				b[jj][2-ii]=a[ii][jj];
		for(int ii=0; ii<3; ii++)
			for(int jj=0; jj<3; jj++)
				a[ii][jj]=b[ii][jj];
	}
	return 0;
}

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