补题 day1T2 矩阵快速幂+神奇的打表(清北)

本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解斐波那契数列的方法,并通过寻找循环节来解决大数问题。代码实现包括了大整数运算、矩阵运算等关键步骤。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题面

设f(n)为斐波那契数列的第n项,求f(f(n));

数据范围

对于100%的数据 n <= 10^100;

题解

首先求一个比较大的斐波那契数列值,需要借助矩阵快速幂来求。
然后发现n太大了,所以这东西绝对绝对会有循环节。
于是我们可以打表==找出f(n), f(f(n))的循环节==
好吧,然后就可以算了

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

const int maxn=200;
const long long mo=1e9+7;
const long long mo2=mo*2+2;
const long long mo3=mo2*3;

char s[maxn];

struct Matrix {
    long long a[2][2]; 
    Matrix() {
        memset(a, 0, sizeof(a));
    }
    Matrix operator * (const Matrix &b) {
        Matrix ans;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                for(int k = 0; k < 2; k++)
                    ans.a[i][j] += a[i][k]*b.a[k][j]%mo;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                ans.a[i][j] %= mo;
        return ans;
    }
    Matrix operator + (const Matrix &b) {
        Matrix ans;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                for(int k = 0; k < 2; k++)
                    ans.a[i][j] += a[i][k]*b.a[k][j]%mo2;
        for(int i = 0; i < 2; i++)
            for(int j = 0; j < 2; j++)
                ans.a[i][j] %= mo2;
        return ans;
    }
}m1, m2; 

Matrix  A, B;

struct Big_int {
    int z[maxn], l;
    void init() {
        memset(s, 0, sizeof(s));
        scanf("%s", s+1);
        l = strlen(s+1);
        for(int i = 1; i <= l; i++)
            z[i] = s[l-i+1] - '0';
    }
    long long operator % (const long long &b) {
        long long ans = 0;
        for(int i = l; i >= 1; i--)
            ans = (ans*10 + z[i]) % b;
        return ans;
    }
}num;

long long get1(long long k) {
    Matrix ans = B, p = A;
    k -= 1;
    while(k) {
        if(k&1) {
            ans = ans+p;
//          k--;
        } 
        p = p+p;
        k >>= 1;
    }
    return ans.a[0][0];
}

long long get2(long long k) {
    Matrix ans = B, p = A;
    k -= 1;
    while(k) {
        if(k&1) {
            ans = ans*p;
            k--;
        }
        p = p*p;
        k >>= 1;
    }
    return ans.a[0][0];
}

int T;

int main() {
    A.a[0][0] = A.a[0][1] = A.a[1][0] = B.a[0][0] = B.a[1][1] = 1;
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        num.init();
        long long k = num % mo3;
        cout << k << endl;
        long long v = get1(k);
        long long ans = get2(v);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}
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