“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营6 A题: Array

A题: Array

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33191/A

题目大意

给定大小为 $n(1\le n\le 10^5)$ 的数组 $a_1,a_2,...,a_n(2\le a_i\le 2\times 10^5)$ ，满足 $\sum \frac{1}{a_i}\le \frac{1}{2}$ 。求长度为 $m$ 的序列 $c_0,c_1,...,c_{m-1}$ 。基于序列 $c$ ，可以生成无限长的序列 $b$ ，满足 $b_i=c_{i\mathrm{mod}m}$ 。 $b$ 必须满足其中任意连续 $a_i$ 个数中，必有一个值为 $i$ 。

注意 $a$ 序列下标从 $1$ 开始， $b,c$ 下标从 $0$ 开始。 $m\in [1,10^6]$ 可以任意选择。

题解

充分观察和利用题目条件！
显然，若 $\sum \frac{1}{a_i}\le 1$ ，则题目是必然有解的。
题目的条件是 $\sum \frac{1}{a_i}\le \frac{1}{2}$ ，我们不妨将 $a_i$ 改为最大的 $2^k\le a_i$ (即向下取到最近的 $2$ 的整数次幂)，此时新的 $a_i^{\prime }>\frac{a_i}{2}$ ，即 $\frac{1}{a_i^{\prime }}<\frac{2}{a_i}$ ，故 $\sum \frac{1}{a_i^{\prime }}<1$ 仍有解。
此时 l c m { a 1 ′ , a 2 ′ , . . . , a n ′ } lcm\{a_1',a_2',...,a_n'\} lcm{a1′​,a2′​,...,an′​} 肯定为一个小于 $10^6$ 的 $2$ 的整数次幂，我们不妨取 $m=2^{19}<10^6$ 。
根据 $a_i^{\prime }$ 从小到大，对于每个 $i$ 每隔 $a_i$ 插入一个值，此时因为 $m$ 是 $a_i^{\prime }$ 的倍数，所以只要序列 $c$ 满足要求，由 $c$ 的重复周期得到的序列 $b$ 也一定满足。
(注意 $a_i^{\prime }$ 要按照从小到大，否则可能出现插入一个 $i$ 时，序列 $c$ 最前面的一段已经被占满的情况)
暴力构造即可。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template<class T>inline void read(T&x){
	char c,last=' ';
	while(!isdigit(c=getchar()))last=c;
	x=c^48;
	while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);
	if(last=='-')x=-x;
}

#define P pair<int,int> 
const int MAXN=1e6+5;
int n;
int a[MAXN];
P p[MAXN];
int ans[MAXN];

int main()
{
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		read(a[i]);
		while(a[i]&(a[i]-1))a[i]-=(a[i]&-a[i]);//(a[i]&(a[i]-1))判断是否为2的整数次幂,(a[i]&-a[i])取出当前二进制中最低的1
		p[i]=P(a[i],i);
	}
	sort(p+1,p+n+1);
	int lim=1<<19;
	for(int i=1,j=1;i<=n;++i){
		while(ans[j])++j;//跳过已经使用的位
		for(int k=j;k<=lim;k+=p[i].first)ans[k]=p[i].second;
	}
	for(int i=1;i<=lim;++i)if(!ans[i])ans[i]=1;//补足空位
	cout<<lim<<'\n';
	for(int i=1;i<=lim;++i)cout<<ans[i]<<" \n"[i==lim];
	return 0;
}