HDU 2068 RPG的错排（错排+排列组合）

最新推荐文章于 2019-02-01 20:16:07 发布

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本文探讨了一个关于错排的问题，源自ACM竞赛背景。问题要求对于N个元素的全排列中，至少一半的元素不在原来的位置上的组合数量。通过递推公式计算错排数，并结合组合数学的方法给出了解决方案。

RPG的错排

Problem Description

今年暑假杭电ACM集训队第一次组成女生队,其中有一队叫RPG,但做为集训队成员之一的野骆驼竟然不知道RPG三个人具体是谁谁。RPG给他机会让他猜猜，第一次猜：R是公主，P是草儿，G是月野兔；第二次猜：R是草儿，P是月野兔，G是公主；第三次猜：R是草儿，P是公主，G是月野兔；......可怜的野骆驼第六次终于把RPG分清楚了。由于RPG的带动，做ACM的女生越来越多，我们的野骆驼想都知道她们，可现在有N多人，他要猜的次数可就多了，为了不为难野骆驼，女生们只要求他答对一半或以上就算过关，请问有多少组答案能使他顺利过关。

Input

输入的数据里有多个case,每个case包括一个n，代表有几个女生，（n<=25）, n = 0输入结束。

Sample Input

1
2
0

Sample Output

1
1

【思路分析】
该题可以抽象为：对n个数进行全排列，要求大于或等于一半的数不是错排，即要求小于n/2的数是错排的情况。对每个错排的个数有c(n,i)个选择，i为错排的个数，设f[i]为i个错排的个数，所以c(n,i)*f[i]为每种情况的方案数，当i从0到n/2之间上式累加即为最终结果。

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define maxn 30
long long f[maxn] = {1,0};
void fun()
{
    for(int i = 2;i <= maxn / 2;i++)
        f[i] = (i - 1) * (f[i - 2] + f[i - 1]);
}
long long c(int n,int m)//求c(n,m)
{
    long long x = 1;
    for(int i = 1;i <= m;i++)
        x = x * (n - i + 1) / i;
    return x;
}
int main()
{
    int n;
    fun();
    while(scanf("%d",&n) != EOF && n)
    {
        long long sum = 0;
        for(int i = 0;i <= n / 2;i++)
        {
            sum += c(n,i) * f[i];
        }
        printf("%lld\n",sum);

    }
    return 0;
}