322. 零钱兑换

322. 零钱兑换 - 力扣（322. 零钱兑换 - 力扣（

暴力递归

首先，这个问题是动态规划问题，因为它具有「最优子结构」的。要符合「最优子结构」，子问题间必须互相独立。啥叫相互独立？你肯定不想看数学证明，我用一个直观的例子来讲解。

回到凑零钱问题，为什么说它符合最优子结构呢？

假设你有面值为 `1, 2, 5` 的硬币，你想求 `amount = 11` 时的最少硬币数（原问题），如果你知道凑出 `amount = 10, 9, 6` 的最少硬币数（子问题），你只需要把子问题的答案加一（再选一枚面值为 `1, 2, 5` 的硬币），求个最小值，就是原问题的答案。因为硬币的数量是没有限制的，所以子问题之间没有相互制，是互相独立的。

所以我们可以这样定义 `dp` 函数：`dp(n)` 表示，输入一个目标金额 `n`，返回凑出目标金额 `n` 所需的最少硬币数量。

👆想明白这个点之后就可以写伪代码了！！

// 伪码框架
int coinChange(int[] coins, int amount) {
    // 题目要求的最终结果是 dp(amount)
    return dp(coins, amount)
}

// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int n) {
    // 做选择，选择需要硬币最少的那个结果
    for (int coin : coins) {
        res = min(res, 1 + dp(coins, n - coin))
    }
    return res
}

再往上加入base case 搞定，这题环境下的base case是，当n<0时返回-1，=0时返回0（也就是结束递归的情况

int coinChange(int[] coins, int amount) {
    // 题目要求的最终结果是 dp(amount)
    return dp(coins, amount)
}

// 定义：要凑出金额 n，至少要 dp(coins, n) 个硬币
int dp(int[] coins, int amount) {
    // base case
    if (amount == 0) return 0;
    if (amount < 0) return -1;

    int res = Integer.MAX_VALUE;
    for (int coin : coins) {
        // 计算子问题的结果
        int subProblem = dp(coins, amount - coin);
        // 子问题无解则跳过
        if (subProblem == -1) continue;
        // 在子问题中选择最优解，然后加一
        res = Math.min(res, subProblem + 1);
    }

    return res == Integer.MAX_VALUE ? -1 : res;
}

 

递归算法的时间复杂度分析：子问题总数 x 解决每个子问题所需的时间。

带备忘录的递归

类似之前斐波那契数列的例子，只需要稍加修改，就可以通过备忘录消除子问题：

class Solution {
    int[] memo;

    int coinChange(int[] coins, int amount) {
        memo = new int[amount + 1];
        // 备忘录初始化为一个不会被取到的特殊值，代表还未被计算
        Arrays.fill(memo, -666);

        return dp(coins, amount);
    }

    int dp(int[] coins, int amount) {
        if (amount == 0) return 0;
        if (amount < 0) return -1;
        // 查备忘录，防止重复计算
        if (memo[amount] != -666)
            return memo[amount];

        int res = Integer.MAX_VALUE;
        for (int coin : coins) {
            // 计算子问题的结果
            int subProblem = dp(coins, amount - coin);
            // 子问题无解则跳过
            if (subProblem == -1) continue;
            // 在子问题中选择最优解，然后加一
            res = Math.min(res, subProblem + 1);
        }
        // 把计算结果存入备忘录
        memo[amount] = (res == Integer.MAX_VALUE) ? -1 : res;
        return memo[amount];
    }
}