FDTD中的边界条件-优快云博客

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前言

在时域有限差分法（FDTD）中，边界条件在FDTD模拟中起着非常重要的作用，它们是开放建模区域用于截断计算域所施加的条件，可以决定电磁波在边界处的反射、透射和吸收等行为。我们将介绍FDTD模拟中网格截断的几种不同边界条件，包括理想电导体（PEC）、理想磁导体（PMC）、周期边界条件、bloch边界条件、一阶Mur吸收边界条件以及PML边界条件。其中mur边界条件以及PML边界条件都是吸收边界，可以模拟光源激发的场传播到无穷远处被完全吸收的情况，从而降低反射的光波对FDTD截断区域的影响，这对FDTD的数值计算至关重要。

理想电导体和理想磁导体

当PEC条件被应用于截断FDTD计算域时，它将使边界上的切向电场为零。PEC可以理解为电导率无限大的材料。它的实际例子是波导和腔壁，以及微波电路或贴片天线的接地平面。

与PEC一样，理想磁导体也是电磁波的一种自然边界条件，也是全反射的。然而，与PEC不同的是，PMC不是物理的，它只是一种技巧。原则上，我们可以通过强制PMC表面上的切向磁场为零，来截断计算域。

PEC和PMC经常利用仿真的对称性，以减小计算域的大小，或者用于截断正入射平面波时的周期性结构。

周期边界条件和bloch边界条件

周期边界条件通常用于模拟周期性结构，通过应用这种边界条件，FDTD计算域中的结构和电磁场都被视为周期性的。这意味着在计算域内，结构和电磁场的变化会在一个周期内重复。而Bloch边界条件主要适用于平面波以一定角度入射到周期性结构中的情况。Bloch边界条件将对模拟区域内一个边界处的场进行相位调整，然后将其注入到另一个边界中。通过使用Bloch边界条件，可以准确地模拟周期性结构中的任意入射角度的电磁波传播特性，其公式可表示为：

$E_{x\_max}=e^{-ia_xk_x}E_{x\_min}\\ E_{x\_min}=e^{ia_xk_x}E_{x\_max}$

其中 $a_x$ 为平移的晶格矢量， $k_x$ 为bloch波矢。以下为倾斜平面波入射时的电场分布，使用Bloch边界和PML边界的结果。入射光在Bloch边界的作用下拓展为无限大的平面入射，然后在PML边界当中被吸收。

吸收边界

由于计算机容量的限制，FDTD只能在有限区域内进行模拟。为了能够模拟开放区域电磁过程，在有限的计算区域截断边界处必须给出吸收边界条件。常用的吸收边界有Mur吸收边界和完美匹配层吸收边界。

Mur吸收边界

在PML出现之前，Mur吸收边界在FDTD的发展中发挥了重要作用。即使在今天，我们仍然可以利用这种简单的边界条件在FDTD模拟中获得相当好的结果。虽然Mur边界的吸收效果比PML差，但是它在模拟速度和内存需求方面优于PML。

以一维平面波为例，其场分量 $\phi(x+ct)$ 满足波动方程

$(\cfrac{\partial}{\partial x}-\cfrac{1}{c}\cfrac{\partial}{\partial t})\phi(x,t)=0$

在FDTD网格当中，场分量按照迭代方程进行更新，而在边界处，由于缺少对应分量，只能采用吸收边界条件进行更新。此时Mur吸收边界条使用上一个时间步边界附近的场分量对其进行近似，即为

$\phi_{x=0}^{n+1}=(1-\cfrac{c\Delta t}{\Delta x})\phi_{x=0}^{n}+\cfrac{c\Delta t}{\Delta x}\phi_{x=1}^{n}$

对上式进行差分近似

$\phi_{x=0}^{n+1}=\phi_{x=1}^{n}+\cfrac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x}[\phi_{x=1}^{n+1}-\phi_{x=0}^{n}]$

在实际的FDTD计算当中，其边界的电场更新方程即为

$E_y^{n+1}(0,j+1/2,k)=E_y^{n}(0,j+1/2,k)+\cfrac{c\Delta t-\Delta x}{c\Delta t+\Delta x}[E_y^{n+1}(1,j+1/2,k)-E_y^{n}(0,j+1/2,k)]$

完美匹配层

PML实际上也是一种人工各向异性材料，理论上它是一种损耗材料，并且反射极低。尽管自Berenger引入原始版本以来，相关研究人员已经提出了各种不同的版本，比如UPML，CPML等，但这些版本体现的中心概念仍然与Berenger发现的相同。下面简单介绍Berenger-PML（BPML），即分裂场完美匹配层，以二维TE为例，其将磁场分量分裂为两个子分量 $H_{zx},H_{zy}$ ，且 $H_{zx}+H_{zy}=H_z$ ，对应麦克斯韦方程为

$\begin{cases} \varepsilon\cfrac{\partial E_x}{\partial t}+\sigma_yE_x=\cfrac{\partial(H_{zx}+H_{zy})}{\partial y}\\ \varepsilon\cfrac{\partial E_y}{\partial t}+\sigma_xE_y=-\cfrac{\partial(H_{zx}+H_{zy})}{\partial x}\\ \mu\cfrac{\partial H_{zx}}{\partial t}+\sigma_{mx}H_{zx}=-\cfrac{\partial E_y}{\partial x}\\ \mu \cfrac{\partial H_{zy}}{\partial t}+\sigma_{my}H_{zy}=\cfrac{\partial E_x}{\partial y} \end{cases}$

其中介质参数 $(\sigma_x,\sigma_{mx},\sigma_y,\sigma_{my})$ 满足阻抗匹配条件，当材料参数为（0，0，0，0）时即为真空。

$\begin{cases} \cfrac{\sigma_x}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{mx}}{\mu_0}\\ \cfrac{\sigma_y}{\varepsilon_0}=\cfrac{\sigma_{my}}{\mu_0} \end{cases}$

电磁波的任意波长以任意角度都能在PML层当中传播，但振幅由于PML吸收而不断衰减。如下图所示，此时PML层分为周围四个边以及四个顶角八个区域，按图中所示构建参数，可以使得相邻的PML区域没有反射。

实际计算当中，PML层也不可能无限厚度，依然在最外层采用理想电导体截断。电磁波经过PML层后会被PEC边界完全反射回来，重新经过PML吸收并最终进入FDTD仿真区域。此时反射系数为

$R(\theta)=exp(-\cfrac{2cos\theta}{c\varepsilon_0}\int_0^d\sigma(x)dx)$

当入射光垂直入射时， $R(0)$ 通常取 $e^{-16}$ ，而且离散化PML层的电导率可以表示为级数形式，以 $\sigma_x$ 为例

$\sigma_x(i)=\cfrac{\sigma_{x,max}}{\Delta xd^m(m+1)}[(x(i)+\cfrac{\Delta x}{2})^{m+1}-(x(i)-\cfrac{\Delta x}{2})^{m+1}]$

电磁场在PML当中衰减十分迅速，常规FDTD的迭代方程已不再适用，此时场以指数形式衰减

$E_x^{n+1}=E_x^{n}exp(-\cfrac{\sigma_y}{\varepsilon}\Delta t)$

最后得到在PML层中的FDTD迭代方程如下，此处仅以 Ex 为例

$E_x|_{i+1/2,j}^{n+1}=exp[-\sigma_y(j)\cfrac{\Delta t}{\varepsilon_0}]E_x|_{i+1/2,j}^{n}+\cfrac{1-exp[-\sigma_y(j)\cfrac{\Delta t}{\varepsilon_0}]}{\Delta_y\sigma_y(j)}(H_z|_{i+1/2,j+1/2}^{n+1/2}-H_z|_{i+1/2,j-1/2}^{n+1/2})$

实际PML吸收效果如下所示，图中颜色覆盖即为PML层，纵坐标即为归一化的电场，可见，光入射到PML以后，随着PML的逐层吸收，入射光迅速衰减到可以被忽略的量级。

参考文献

[1] Allen Taflove. "Computational Electromagnetics: The Finite-Difference Time-Domain Method", Boston:Artech House, (2005).

[2] "boundary condition settings", www.emsimworks.com/zh-CN/knowledge-base/User-Manual_boundary-condition-settings.

[3] Mur, G. "Absorbing boundary condition for the finite-difference approximation of the tine-domain electromagnetic-field equtions", IEEE Trans.electromagn.compat 23(1981).

[4] Berenger,Jean-Pierre. "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves", Journal of Computational Physics, (1994).