本文详细介绍了卡尔曼滤波算法，包括其基本前提、数学推导和与其他方法（如递推最小二乘估计RLS、隐马尔可夫模型、最大似然估计）的比较。卡尔曼滤波是一种在高斯噪声中对状态进行最优估计的线性递推算法，适用于状态不可直接观测但可以通过观测值推断的情况。
前言
由于概率论要求有个结课论文，加上之前学习了下简单的Kalman滤波，发现还有很多有意思的内容不太理解，于是水了这么篇文章。
Kalman滤波
卡尔曼滤波算法需要满足两个前提，另外还有一个隐含的前提：
系统为有限维的线性系统，如果系统非线性，可以用扩展卡尔曼滤波算法(EKF)进行最优估计。
噪声服从高斯分布，即高斯白噪声。
系统在k时刻的状态只与k-1时刻状态和当前输入有关(马尔可夫性)。
卡尔曼滤波算法的过程如下，首先定义FkF_kFk为状态转移矩阵，体现k-1时刻对k时刻的影响；GkG_kGk为控制输入矩阵，表示控制输入对于状态的影响；wkw_kwk为过程噪声矩阵，其服从均值为0，协方差矩阵为QkQ_kQk的高斯分布。
那么从k-1时刻估计k时刻，可以使用下式进行估计, xk\ x_k xk为状态变量在k时刻的真值：
xk=Fkxk−1+Gkuk+wk (1−1) {x_k=F}_kx_{k-1}+G_ku_k+w_k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-1) xk=Fkxk−1+Gkuk+wk (1−1)
那么我们观测的先验估计为，xk∣k−1x_{k|k-1}xk∣k−1为状态变量x根据k-1时刻对k时刻的估计值：
xk∣k−1=Fkxk−1∣k−1+Gkuk+wk (1−2) {x_{k|k-1}=F}_kx_{k-1|k-1}+G_ku_k+w_k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-2) xk∣k−1=Fkxk−1∣k−1+Gkuk+wk (1−2)
定义k时刻的观测量zkz_kzk，观测矩阵HkH_kHk表示状态空间到观测空间的映射，vkv_kvk为观测噪声矩阵，同样为服从均值为0，协方差矩阵为RkR_kRk的观测噪声矩阵。那么对于从k时刻的观测估计状态量有：
zk=Hkxk+vk (1−3) z_k=H_kx_k+v_k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-3) zk=Hkxk+vk (1−3)
预测过程的误差可使用协方差矩阵Pk∣k−1P_{k|k-1}Pk∣k−1表示，有Pk∣k−1=Cov( xk∣k−1,xk∣k−1)P_{k|k-1}= {Cov(\ x}_{k|k-1},x_{k|k-1})Pk∣k−1=Cov( xk∣k−1,xk∣k−1) ，可以写为：
Pk∣k−1=FkPk−1∣k−1Fkt+Qk (1−4) {P_{k|k-1}=F}_kP_{k-1|k-1}{F_k}^t+Q_k\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1-4)\ Pk∣k−1=FkPk−1∣k−1Fkt+Qk (1−4)
推导过程如下：
KaTeX parse error: Expected group after '\bigm' at end of input: …_k)\ +Q_k\bigm
利用协方差矩阵的性质有：
=FkCov( xk−1∣k−1,Fkxk∣k−1)+0+Qk= Fk[Cov(Fkxk∣k−1,xk∣k−1)]T+Qk= Fk[FkCov(xk∣k−1)]T+Qk= FkPk−1∣k−1Fkt+Qk {\ =F_kCov(\ x}_{k-1|k-1},F_kx_{k|k-1})+0+Q_k \\ {=\ F}_k\left[Cov\left(F_kx_{k|k-1},x_{k|k-1}\right)\right]^T+Q_k\\ =\ F_k\left[F_kCov\left(x_{k|k-1}\right)\right]^T+Q_k\\ =\ F_kP_{k-1|k-1}{F_k}^t+Q_k =FkCov( xk−1∣k−1,Fkxk∣k−1)+0+Qk= Fk[Cov(
最低0.47元/天 解锁文章
扫一扫
4427
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
