No.70 - LeetCode96 - n个节点的不同结构二叉搜索树的个数

先给出一种自己的做法：时间O(N^3)，可以AC

直觉是n节点二叉搜索树的结构是通过n-1节点扩展出来的，且有一定规律。

花了15分钟，貌似找到了这个规律：

因为新插入的点一定是最大的，所以可以通过插缝的方式插入新节点n，但是有些是不满足二叉搜索树的排序关系，去掉后就是如图的逻辑关系。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int dp[n+1][n+1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[1][1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                for(int k=j-1;k<i;k++){
                    dp[i][j] += dp[i-1][k];
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=dp[n][i];
        return ans;
    }
};

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进阶版，O(N^2)的做法：

时间压缩一下，类似于快速幂的思路，
只用n节点信息可以扩展出n+1节点的信息，但是把1～n节点的信息都利用就可以加快计算。
一个n+1节点的二叉搜索树可以划分为，左边0个，根1个(值为1)，右边n个；左边1个，根1个(值为2)，右边n-1个；…以此类推。

把每个值都轮番作为根节点，由于二叉搜索树的特性，左子树上节点集合一定比根小，右子树节点集合一定比根大，所以相当于递归处理。

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        int dp[n+1];
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0] = dp[1] = 1;
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=0;j<i;j++){
                dp[i] += dp[j]*dp[i-j-1];
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

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究极版，O(N)的做法：

根据进阶版递归公式
f(0) = f(1) = 1
f(n) = f(0)*f(n-1) + f(1)*f(n-2) + … + f(n-1)*f(0)

这个东西叫做Catalan数：

快速计算公式：

f(n) = C(2n,n) / (n+1)

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long ans = 1;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans = (n+i)*ans/i;
        return ans/(n+1);
    }
};

注：ans一定要用long long，否则会溢出，这里只能先乘n+i再除i，否则可能出现整数除法错误。